14.3.2 公式法【6大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

14.3.2 公式法 【考点归纳】 · 考点一：判断是否能用公式法因式分解 · 考点二：运用平方差公式因式分解 · 考点三：运用完全平方公式因式分解 · 考点四：综合运行公式法因式分解 · 考点五：因式分解在化简求值的应用 · 考点六：因式分解的应用 【知识归纳】 因式分解公式法：运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型探究】 题型一：判断是否能用公式法因式分解 1．（23-24八年级下·河北保定）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：，故（1）符合题意； 不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意； ，故（3）符合题意； ，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意； 所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3）， 故选：B 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列多项式中，能用公式法分解因式的有（   ） ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】略 题型二：运用平方差公式因式分解 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 5．（23-24八年级上·山东日照）下列各式可用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，解题的关键是掌握用平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】A． 只有一个平方项，故本选项错误． B． 符合平方差公式，正确； C． 两平方项的符号相同，故本选项错误； D． 两平方项的符号相同，故本选项错误； 故选∶B． 6．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解的方法是解题关键． 利用平方差公式对选项进行判断即可． 【详解】解：A. ，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；     B. ，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；         C. ，能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；     D. ，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；     故选：C． 题型三：运用完全平方公式因式分解 7．（23-24八年级下·全国·期末）下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题因式分解，掌握运用公式法分解因式是解决此题的关键． 根据完全平方公式逐项判定即可． 【详解】解：A、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； B、不能用完全平方公式因式分解，故此选项符合题意； C、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； D、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分解因式，根据完全平方公式进行判断即可. 【详解】A. 不能进行因式分解，故选项不符合题意； B. 不能进行因式分解，故选项不符合题意；     C. 不能进行因式分解，故选项不符合题意；     D. ，能用完全平方公式进行分解因式，故选项符合题意； 故选：D 9．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握是解题的关键． 【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； B.符合完全平方公式的特征，故符合题意； C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； 故选：B． 题型四：综合运行公式法因式分解 10．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）先用平方差公式分解后，再用完全平方公式对每个因式分解即可； （4）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 11．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用提公因式法进行因式分解即可； （3）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ； （3）解：原式 （4）解：原式 ． 12．（23-24八年级上·山东青岛·期末）因式分解： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，即可求解； （4）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 题型五：因式分解在化简求值的应用 13．（23-24八年级上·山东青岛·期中）计算： ． 【答案】408 【分析】本题主要考查了提取公因式法的应用，先提取公因式102，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：408． 14．（21-22八年级上·福建厦门·期末）若a=2021×589－588×2021，b=2019×2018－2017×2020，则a与b的大小关系为 ． 【答案】a＞b 【分析】先把a提取公因式进行因式分解求出a，再把b利用乘法分配律化简得出b的值，最后比较大小． 【详解】解：∵a＝2021×589−588×2021 ＝2021×（589−588） ＝2021×1 ＝2021． b＝2019×2018−2017×2020 ＝2019×（2017＋1）−2017×（2019＋1） ＝2019×2017＋2019−2017×2019−2017 ＝2019−2017 ＝2． 故答案为：a＞b． 【点睛】本题考查了因式分解，准确拆项是本题的关键． 15．（23-24八年级下·云南文山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型六：因式分解的应用 16．（24-25八年级上·山东泰安·期中）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③； … （1）模仿以上做法．尝试对进行因式分解_____； （2）观察以上结果，猜想_____；（为正整数，直接写结果，不用验证） （3）根据以上结论，试求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可； （2）由分解的规律直接得出答案即可； （3）把式子乘，再把计算结果乘即可． 此题考查因式分解的实际运用，读懂题意，掌握分步提取公因式法和类比的方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）依题意， ； （2）观察题干式子特征，得； （3）∵ ∴ ． 17．（23-24八年级下·四川达州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． (3)当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 【答案】(1) (2)是等腰三角形或直角三角形 (3)，最大值为 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用提公因式法和平方差公式分解因式，可得或，即可求解； （3）先对式子进行因式分解，得到时，取得最大值 【详解】（1） （2）解：∵， ， ∴ ∴或， 解得或， ∴是等腰三角形或直角三角形． （3） 时，即，原式有最大值． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法． （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： ． （3）解：根据题意得： ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）下列各式中能用公式法分解因式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】解：①，它无法利用公式法因式分解； ②原式，它可以利用平方差公式因式分解； ③无法因式分解； ④原式，它可以利用平方差公式因式分解； ⑤原式，它可以利用完全平方公式因式分解； ⑥原式，它可以利用完全平方公式因式分解； 综上，能用公式法分解因式的有4个， 故选：C． 20．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）当时，代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，利用完全平方公式将代数式变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 21．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解：     ， 故选：C． 22．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； B、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； C、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； D、可以用完全平方式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 23．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，按照两种方法计算图形面积，根据面积相等，即可解答． 【详解】解：图形的面积为：或：， ∴， 故选：B． 24．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值为（    ） A．2024 B．6072 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，，得出，，即，整理得出，得出，将变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， 故选：D． 25．（23-24七年级下·广西贺州·期末）小红是一名密码翻译爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，贺，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱贺州 B．美我贺州 C．贺州游 D．我爱美 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将原式因式分解得出结论即可． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码信息为：我爱贺州， 故选：A． 26．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法将配方成，再求出、和即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴， 故选：C． 27．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．对多项式先进行因式分解，再代值求出每个因式的值，然后对因式的值排列组合即可得出答案． 【详解】解：， 当时，， 故密码为或， 故选：A． 28．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，根据，可推出，由三角形三边的关系可得，则，即，则是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c分别是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 二、填空题 29．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设a为正整数，且满足是完全平方数，则a的值是 ． 【答案】4或18 【分析】此题考查了完全平方数的性质，平方差公式和完全平方公式因式分解，解题的关键分类讨论a的范围． 设（x为正整数），整理得到，，然后求出，然后得到或，然后分情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，设（x为正整数）， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵a，x为正整数， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴或 ∴当时， 解得，； ∴当时， 解得， 综上所述，a的值是4或18． 故答案为：4或18． 30．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解；先提取公因式再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：； 故答案为：； 31．（2024八年级上·全国·专题练习）若都是有理数，且满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，非负性质；掌握完全平方公式是解题的关键；条件变形后，利用完全平方公式化为，由非负数的性质即可求得a与b的值，再代入即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， ， 故． 故答案为：1． 32．（24-25八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以得到代数式可以因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解与几何图形，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据图形面积可进行求解． 【详解】解：由图形可知：； 故答案为． 33．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型． 把当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 34．（24-25八年级上·全国·期中）如图是一个棱长为的正方体中挖去一个棱长为的小正方体，将剩余部分进行切割得到如图所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式进行因式分解，即 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式等知识点，正确表示出三块长方体的体积之和是解题的关键． 根据正方体和长方体的体积公式及体积关系即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 图的体积为：， 图的体积为：， 图的体积图的体积， ， 故答案为：． 三、解答题 35．（24-25八年级上·河南南阳·期中）因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解； （3）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 36．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先分组得到，再提取公因式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题主要考查了提公因式法和公式法因式分解， （1）先提出公因式a，再根据平方差公式分解； （2）提出公因式，再根据平方差公式分解； （3）根据平方差公式分解即可； （4）提出公因数2，再根据完全平方公式分解； （5）提出负号，再根据完全平方公式分解； （6）提出公因式，再计算即可； （7）先整理，再根据平方差公式分解； （8）根据平方差公式分解，再根据完全平方公式分解； （9）先提出8，再根据完全平方公式分解； （10）直接根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式； （7）原式； （8）原式； （9）原式； （10）原式． 38．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 39．（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，首先得到个四位数为，仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证． 【详解】证明：根据题意，得这个四位数为． ． 因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除． 40．（24-25八年级上·山东淄博·期中）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用公式法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 多项式的最小值是； （3）解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3.2 公式法 【考点归纳】 · 考点一：判断是否能用公式法因式分解 · 考点二：运用平方差公式因式分解 · 考点三：运用完全平方公式因式分解 · 考点四：综合运行公式法因式分解 · 考点五：因式分解在化简求值的应用 · 考点六：因式分解的应用 【知识归纳】 因式分解公式法：运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型探究】 题型一：判断是否能用公式法因式分解 1．（23-24八年级下·河北保定）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·河南南阳）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列多项式中，能用公式法分解因式的有（   ） ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：运用平方差公式因式分解 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东日照）下列各式可用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是（    ） A． B． C． D． 题型三：运用完全平方公式因式分解 7．（23-24八年级下·全国·期末）下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（  ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 题型四：综合运行公式法因式分解 10．（23-24八年级上·山东泰安）因式分解 (1) (2) (3) (4) 11．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24八年级上·山东青岛·期末）因式分解： (1)； (2) (3)； (4)． 题型五：因式分解在化简求值的应用 13．（23-24八年级上·山东青岛·期中）计算： ． 14．（21-22八年级上·福建厦门·期末）若a=2021×589－588×2021，b=2019×2018－2017×2020，则a与b的大小关系为 ． 15．（23-24八年级下·云南文山·期末）计算： ． 题型六：因式分解的应用 16．（24-25八年级上·山东泰安·期中）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③； … （1）模仿以上做法．尝试对进行因式分解_____； （2）观察以上结果，猜想_____；（为正整数，直接写结果，不用验证） （3）根据以上结论，试求的值． 17．（23-24八年级下·四川达州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． (3)当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 18．（2024八年级上·全国）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）下列各式中能用公式法分解因式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）当时，代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 21．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值为（    ） A．2024 B．6072 C． D． 25．（23-24七年级下·广西贺州·期末）小红是一名密码翻译爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，贺，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱贺州 B．美我贺州 C．贺州游 D．我爱美 26．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 28．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 二、填空题 29．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设a为正整数，且满足是完全平方数，则a的值是 ． 30．（24-25八年级上·江西上饶）分解因式： ． 31．（2024八年级上·全国·专题练习）若都是有理数，且满足，则 ． 32．（24-25八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以得到代数式可以因式分解为 ． 33．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）化简： ． 34．（24-25八年级上·全国·期中）如图是一个棱长为的正方体中挖去一个棱长为的小正方体，将剩余部分进行切割得到如图所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式进行因式分解，即 ． 三、解答题 35．（24-25八年级上·河南南阳·期中）因式分解 (1) (2) (3) 36．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 38．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 39．（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 40．（24-25八年级上·山东淄博·期中）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用公式法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$