专题09 运用因式分解判断三角形形状问题 -2021-2022学年八年级数学之因式分解各类型问题解法攻略（人教版）

专题09 运用因式分解判断三角形形状问题 1． △ABC的三边满足a2﹣2bc=c2﹣2ab，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 2．设a，b，c是 的三条边，且 ，则这个三角形是 　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3.△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为　　． 4.已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由． 5.已知a，b，c为△ABC的三条边，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则该△ABC是什么三角形？ 6.已知△ABC的三条边分别是a、b、c．（1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负．（2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状． 7.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由． 8. ， ， 是 的三边，且有 （1）若 为整数，求 的值 （2）若 是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长 9.如果 ， ， 是三角形 的三边，并且满足等式 ，试确定三角形 的形状 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题09 运用因式分解判断三角形形状问题 1． △ABC的三边满足a2﹣2bc=c2﹣2ab，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解析】对等式可变形为：a2﹣2bc﹣c2+2ab=0， （a2﹣c2）+（2ab﹣2bc）=0， （a+c）（a﹣c）+2b（a﹣c）=0， （a﹣c）（a+c+2b）=0， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+c+2b＞0， ∴a﹣c=0， ∴a=c． ∴该三角形是等腰三角形． 2．设a，b，c是 的三条边，且 ，则这个三角形是 　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状. ∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0， （a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0， 所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D. 3.△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为　　． 【答案】12 【解析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三 边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案． ∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119 ∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120 （a+1）（b+1）（c+1）＝120 ∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边 ∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1． 故可分为以下6种情况： （1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c＝12． （5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． 综上可知，△ABC的周长为12． 4.已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由． 【答案】无法构成△ABC， 【解析】将已知等式移项后变形为，即，据此可得且，继而知a+b＝c，即可作出判断．