【中学教材全解】2013-2014学年高中数学（苏教版必修4）同步测试：第二章 平面向量（全，5份，含参考答案）

2.5 向量的应用（数学苏教版必修4） 建议用时 实际用时 满分 实际得分 45分钟 100分 一、填空题（每小题5分，共30分） 1.已知O为△ABC所在平面内的一点，| |2+ | |2=| |2+| |2=| |2+| |2，则O为△ABC的 . 2. O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若( - )·( + )=( - )·( + )=0，则O为△ABC的 . 3.已知在△ABC中， · = · = · ，则O为△ABC的 . 4.已知O为△ABC内一点，且满足( + )⊥( - ),( + )⊥( - ),则O为△ABC的 . 5. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足 = + ，其中、∈R，且 + =1，则点C的轨迹方程为 . 6. 在△ABC中，已知向量 与 满足( + )· =0且 · = ，则△ABC为 三角形. 二、解答题(共70分) 7.（15分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB.求证：四边形PMQN为矩形. 8.（20分）已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块在力F的作用下在动摩擦系数 =0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f做的功分别是多少？ 9. （15分）已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？[来源:Zxxk.Com] [来源:Zxxk.Com] 10. （20分）以原点O和A(4，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，∠OBA=90°,求点B的坐标和向量 . 2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）[来源:学|科|网Z|X|X|K] 答题纸 得分： 一、填空题 1． 2． 3． 4． 5． 6． 二、解答题 7. 8. 9. 10.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 2.5 向量的应用（数学苏教版必修4） 答案 一、填空题 1. 垂心 解析：由| |2+| |2=| |2+| |2，得 2- 2= 2- 2， 即( - )·( + )=( - )·( + )， 所以 ·( + - + )=0， ·2 =0， 即O在AB的垂线上.同理，O在AC的垂线上. 所以O为△ABC的垂心. 2. 外心 解析：由( - )·( + )=0知 ·2 =0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的中垂线上.同理，O在AC的中垂线上，故O为△ABC的外心. 3. 垂心 解析：由 · = · ，知 · - · =0. 则 ·( - )= · =0. 故 ⊥ ,即OB⊥CA.同理OC⊥AB,OA⊥BC. 故O为△ABC的垂心. 4. 外心 解析：由( + )⊥( - )得( + )·( - )=0. 故 2- 2=0，即| |=| |. 同理，由( + )⊥( - ),可得| |=| |. 故A、B、C三点分别与点O的距离相等，故O为△ABC外接圆的圆心，即O为△ABC的外心. 5. x+2y-5=0 解析：设 =（x，y）, =（3，1）, =（-1，3）, ∵ = + , ∴ （x，y）=（3，1）+（-1，3）. ∴ ① 又 + =1,与①联立可得x+2y-5=0. 6. 等边 解析：设∠BAC的角平分线为AD，则 + =λ .由已知AD⊥BC,∴ △ABC为等腰三角形.又cos A= ,∴ A=60°,[来源:学#科#网Z#X#X#K] ∴ △ABC为等边三角形. 二、解答题 7.证明：设 =a， =b, 由M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，|a|=|b|,得 =a-b, =a-b, 故 = ，即NA∥CM. 又 =a+b, =a+b, 所以 = ，即BM∥ND. 从而四边形PMQN是平行四边形. 又由 · =(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, 故 ⊥ ，即BM⊥NA. 所以四边形PMQN为矩形. 8.解：设木块位移为s,则 F·s=|F||s|cos 30°=50×20× =500 . 将力F分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为 |F1|=|F|sin 30°=25, 所以|f|= |G-F1|=0.02×(8×10-2