专题16 三角形周长求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题16 三角形周长求最值问题 1．（2021·四川成都龙泉驿·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点，与轴相交于，两点，与轴交于点，与直线相交于，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）如图2，作轴交的延长线于，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）， 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）当点在线段上时，过点、分别作直线、，由时，则，求出点，，进而求解；当点在的延长线时， 同理可解； （3）求出点的坐标为，即点为直线上的一个动点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，则点为所求点，进而求解． 【详解】 解：（1）设抛物线的表达式为， 则， 即，解得， 抛物线的表达式为； （2）设交轴于点， 当点在线段上时， 过点、分别作直线、， 时，则， 即，则点，， 将点的坐标代入得：，解得； 当点在的延长线时， 同理可得：， 综上，或； （3）设点、的坐标分别为、， 则点的横坐标为， 联立直线和抛物线表达式并整理得：， 则，， 由点、的坐标得，直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 即点为直线上的一个动点， 过点作直线的对称点， 连接交直线于点，则点为所求点， 理由：的周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为， 当时，， 故点的坐标为，． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2021·湖北大冶·中考二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为轴上的一个定点．点是抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若点到直线的距离为，求证：； （3）已知坐标平面内一点，求周长的最小值，并求出此时点坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），P（2，-） 【分析】 （1）根据条件选择设顶点式解析式，然后代入已知点坐标即可求出解析式； （2）根据点的坐标，利用勾股定理表示出PF的长度，结合抛物线解析式，从而得到PF长度与n的关系式，再利用n表示出d的值，进而可以找到PF与d的关系； （3）借助（2）中得到的结论转化得到，当PD所在直线垂直l时，PF+PD的最小值，即△PDF周长最小，再求出P点坐标即可． 【详解】 解：（1）由顶点（0，-1），可设抛物线方程为， ∵过， ∴代入解得a=， ∴抛物线解析式为； （2）证明：已知P、F的坐标， ∴， ∵P在抛物线上， ∴， ∴（n＞-1）， 又P点到l的距离d=n+3， ∴PF=d， （3）△PDF的边长中DF长度根据勾股定理求出为，不随P位置改变， ∴PD+PF最小时，周长最小， 根据（2）可知PF=d， ∴当DP⊥l时，PD+PF最小，且最小值为6， ∴P点横坐标为2， ∴△PDF周长最小为，P点坐标为（2，-）． 【点睛】 本题考查了求抛物线的解析式，勾股定理，求最值等知识内容，对学生的做题灵活性要求较高，属于中考常考题． 3．如图，对称轴为直线的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0)． （1）求此二次函数的解析式； （2）在直线上找一点P，使PBC的周长最小，并求出点P的坐标； （3）若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）见解析，P(-1，2)；（3）， 【分析】 （1）先求点C的坐标，再将点B、点C的坐标分别代入二次函数的解析式，求出待定系数b、c的值，问题即解决； （2）根据轴对称的性质，先画出点P的位置，求出直线AC的函数关系式，则直线AC与抛物线的对称轴的交点即为P的坐标； （3）四边形AQCB的面积由△ABC和△AQC的面积组成，其中△ABC的面积为定值，可知需要把△AQC的面积用含t的代数式表示出来，再求四边形AQCB的最大值． 【详解】 （1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线， ∴． ∴=-2． ∵点B（1，0）在二次函数的图象上， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式为． （2）由（1）知二次函数的解析式为．令，得． ∴点C的坐标为（0，3）． 由题意，可得点B（1，0）与点A（-3，0）关于直线对称． ∴要在直线上找一点P使△PBC的周长最小的问题，也就是要在直线上找一点P使PC与PA的和最小的问题． ∵在连接AC的线中，线段AC最短． ∴直线AC与直线的交点就是所要找的点P（如图1） 设经过A、C两点的直线为直线， 则有 ∴ ∴． 由 得点Ｐ的坐标为（-1，2）． （3）如图2． 过点Q作轴，垂足为， 直线AC与直线