1.1 直线的斜率与倾斜角（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1．1　直线的斜率与倾斜角 学习目标 知识导图 1.理解直线的斜率与倾斜角的概念．(数学抽象) 2．掌握斜率和倾斜角的对应关系．(直观想象) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(直观想象) [问题导学] 阅读课本5～8页，思考以下问题： 1．如何刻画直线的倾斜程度？ 2．直线的斜率的计算公式是怎样的？ 3．直线的倾斜角的定义是什么？其范围是什么？ 4．直线的斜率和倾斜角的关系是什么？ 5．所有的直线都有斜率吗？所有的直线都有倾斜角吗？　　　 [知识梳理] 知识点一　直线的斜率 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝(x1≠x2).当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在． 微思考 1．已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，运用斜率公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点坐标的顺序有关吗？ 提示：与A，B两点坐标的顺序无关． 2．当直线平行于y轴，或与y轴重合时，斜率公式还适用吗？为什么？ 提示：当直线平行于y轴，或与y轴重合时，斜率公式不适用，此时x1＝x2，分母为0. 3．当直线AB与x轴平行或重合时，直线的斜率公式还成立吗？为什么？ 提示：成立，此时k＝0. 知识点二　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 3．直线的倾斜角与其斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 ① 锐角 正 绝对值变大 ② 钝角 负 ③ 锐角 正 绝对值变小 ④ 钝角 负 微思考 4．每一条直线都有一个确定的倾斜角吗？ 提示：每条直线都有一个确定的倾斜角． 5．已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？ 提示：唯一确定． 微练习 1．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为________. 解析：由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝. 答案： 2．已知直线l的斜率为－1，则直线l的倾斜角为________. 解析：由题意知，tan α＝－1，由0°≤α<180°知α＝135°. 答案：135° 题型一　直线的斜率 [例1]　(1)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率； (2)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率． [解析]　(1)直线AB的斜率kAB＝； ＝ 直线BC的斜率kBC＝； ＝－＝ 直线AC的斜率kAC＝＝1. ＝ (2)当m＝2时，直线AB的斜率不存在； 当m≠2时，直线AB的斜率kAB＝.＝ 1．运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． 2．斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． [跟踪训练] 设坐标平面内三点A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的三倍，则实数m的值为________. 解析：由kAC＝3kBC，得，解得m＝1或m＝2，经验证均符合题意，故m的值是1或2. ＝3· 答案：1或2 题型二　直线的倾斜角 [例2]　(1)下列叙述中不正确的是(　　) A．若直线的斜率存在，则倾斜角存在 B．每一条直线都唯一对应一个倾斜角 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90°或0° D．若直线倾斜角为α，则直线的斜率为tan α (2)直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角不可能为(　　) A．90°－α　　　　　　 B．90°＋α C．|90°－α| D．|180°－α| (3)已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________. [解析]　(1)由倾斜角的定义可知 A和B正确；与x轴垂直的直线倾斜角为90°，与y轴垂直的直线倾斜角为0°，所以C正确；倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以D不正确． (2)①当α＝0°时，l2的倾斜角为90°，(如图1) ②当0°<α<90°时，l2的倾斜角为90°＋α.(如图2) ③当α＝90°时，l2的倾斜角为0°.(如图3) ④当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4) (3)根据直线的倾斜角的取值范围可知， 直线l的倾斜角为α－20°应满足 0°≤α－20°<180°，解得20°≤α<200°. [答案]　(1)D　(2)D　(3)20°≤α<200° 求直线倾斜角的方法及关注点 (1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． (2)关注点：结合图形求角时，