1.2.1 直线的点斜式方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.2　直线的方程 1．2.1　直线的点斜式方程 学习目标 知识导图 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．(数学抽象、逻辑推理) 2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．(数学抽象、直观想象) [问题导学] 阅读课本10～12页，思考以下问题： 1．确定直线的几何要素是什么？ 2．直线的点斜式方程与斜截式方程的结构形式分别是什么？ 3．直线在y轴上的截距是如何定义的？ [知识梳理] 知识点　直线方程的点斜式、斜截式 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0 ＝k(x－x0) 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 微思考 1．若直线的倾斜角为0°，且经过点P(x0，y0)，能用点斜式表示吗？ 提示：倾斜角为0°，斜率为0，能用点斜式y－y0＝0. 2．直线的点斜式及斜截式方程的适用条件是什么？ 提示：(1)直线的点斜式方程的前提条件是： ①已知一点P(x0，y0)和斜率k； ②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b. 注：斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0. 题型一　直线的点斜式方程 [例1]　求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(4，－2)，倾斜角为150°. (2)过点P(2 020，－2 021)，且与x轴平行． (3)过点Q(－6,2)，且与y轴平行． (4)过P(1,3)，Q(2,5)两点． [解析]　(1)因为直线过点P(4，－2)， 斜率k＝tan 150°＝－，由直线方程的点斜式 得直线方程为y＋2＝－(x－4)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－2 021)＝0×(x－2 022)，即y＋2 021＝0. (3)此直线与y轴平行，斜率不存在，无法用点斜式表示，因为过点Q(－6,2)，所以此直线的方程为x＝－6. (4)过点P(1,3)，Q(2,5)的直线的斜率 kPQ＝＝2.又因为直线过点P(1,3)， 所以直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1). 求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. [跟踪训练] 1．已知直线l过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝x＋1倾斜角的两倍，则直线l的方程为(　　) A．y－4＝2(x－3)　　　　 B．y－4＝x－3 C．y－4＝0 D．x－3＝0 解析：直线y＝x＋1的倾斜角为45°， 由题意得直线l的倾斜角为90°， 所以直线l的斜率不存在，其方程为x＝3. 答案：D 2．一条直线经过点P(－2,3)，且与过点(－4,4)和(－3,2)的直线斜率相等，求这条直线的方程． 解析：过点(－4,4)和(－3,2)的直线的斜率为＝－2，由题意得，所求直线的斜率为－2，又因为该直线过点(－2,3)，所以该直线的点斜式方程为y－3＝－2(x＋2)． 题型二　直线的斜截式方程 [例2]　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解析]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－x－2. ，由斜截式可得方程为y＝－ (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝x－3.x＋3或y＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝ 求直线的斜截式方程的策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． [跟踪训练] 求倾斜角是直线y＝－，且在y轴上的截距是－5的直线方程． x＋1的倾斜角的 解析：∵直线y＝－， x＋1的斜率k＝－ ∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝. α