1.3 两条直线的平行与垂直（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.3　两条直线的平行与垂直 学习目标 知识导图 1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(数学抽象、直观想象) 2．会利用斜率来判断两条直线平行或垂直．(直观想象) 3．能够利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线平行或垂直．(数学抽象、数学运算) [问题导学] 阅读课本20～25页，思考以下问题： 1．两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？ 2．两直线垂直，其斜率满足什么条件？ [知识梳理] 知识点　两条直线平行与垂直 1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 微练习 1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 解析：设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1. 答案：D 2．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________. 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1， ∴k1＝＝－1， ∴m＝0. 答案：0 题型一　两条直线平行的判定与应用 [例1]　判断下列各题中直线l1与l2是否平行． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [解析]　(1)k1＝. ＝＝1，k2＝ ∵k1≠k2，∴l1与l2不平行． (2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2. k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形． [跟踪训练] 1．经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是(　　) A．4　　　　　　　　 B．1 C．1或3 D．1或4 解析：由题意，知＝1， 解得m＝1. 答案：B 2．在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________. 解析：∵E，F分别为边AC，BC的中点， ∴EF∥AB. ∴kEF＝kAB＝＝－2. 答案：－2 题型二　两条直线垂直的判定及应用 [例2]　判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)． [解析]　(1)k1＝，k1k2＝1， ＝，k2＝＝ ∴l1与l2不垂直． (2)k1＝－10，k2＝，k1k2＝－1， ＝ ∴l1⊥l2. (3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． [跟踪训练] 1．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)斜率为－的直线垂直，则实数a的值为(　　) A．－ B．－ C. D． 解析：易知a＝0不符合题意．当a≠0时，直线l的斜率k＝. ＝－1，得a＝－·，由－＝－ 答案：A 2．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角． 解析：设BC边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kBC＝－1. ∵kBC＝＝1，∴k＝－1. ∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°. 题型三　两直线平行与垂直的综合应用 角度一：利用两直线的位置关系判定图形形状 [例3]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． [解析]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示， 由斜率公式可得kAB＝， ＝ kCD＝＝－3， ，kAD＝＝ kBC＝. ＝－ 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD.由kAD≠kBC， 所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所