1.4 两条直线的交点（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.4　两条直线的交点 学习目标 知识导图 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(数学抽象) 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(数学运算) [问题导学] 阅读课本27～29页，思考以下问题： 1．怎样求两条直线的交点坐标？ 2．由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？ 3．仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？ [知识梳理] 知识点　两直线的交点坐标 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 微练习 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4,1)　　　　　　 B．(1,4) C. D． 解析：由方程组得 即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是. 答案：C 2．直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：2x＋2y＋3＝0位置关系是________. 答案：平行 题型一　两条直线的交点问题 [例1]　(1)三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值； (2)求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程． [解析]　(1)解方程组得 所以两条直线的交点坐标为(4，－2)． 由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－. (2)法一：(方程组法)解方程组所以两直线的交点坐标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3， 得 故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0. 法二：(直线系法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0　①， 又直线l的斜率为3，所以－， ＝3，解得λ＝ 将λ＝代入①，整理得3x－y＋3＝0. 1．两条直线相交的判定方法 法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 2．过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． [跟踪训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标 (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋3＝0. 解析：(1)解方程组得 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×3－②，得3＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 2．求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程． 解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.，故所求直线方程为x－3y＋4－ 题型二　恒过定点问题 [例2]　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点． [证明]　法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0， 取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P(－3,3)． 将点P(－3,3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3， 整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0. 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组得 ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 解决过定点问题常用的三种方法 (1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标． (2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)． (3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用. [跟踪训