1.5 平面上的距离（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1．5　平面上的距离 1．5.1　平面上两点间的距离 1．5.2　点到直线的距离 学习目标 知识导图 1.探索并掌握两点间的距离公式．(数学抽象、数学运算) 2．探索并掌握点到直线的距离公式．(直观想象、数学运算) 3．会求两条平行直线间的距离．(数学运算) [问题导学] 阅读课本31～37页，思考以下问题： 1．两点间距离公式是什么？ 2．点到直线的距离公式是什么？ 3．两条平行直线间的距离公式是什么？ [知识梳理] 知识点一　平面上两点间的距离公式 1. 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. 2.线段的中点坐标公式 (1)条件：点P(x，y)是线段P1P2的中点且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． (2)结论：x＝. ，y＝ 微练习 1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　) A．5　　　　　　　 B． C. D．4 解析：|MN|＝＝5. 答案：A 2．已知M(－1,2)，N(3，－4)，则线段MN的中点坐标为(　　) A．(－1,1)　　　　　　 B．(1，－1) C. D． 答案：B 3．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________. 解析：由两点间距离公式得 (－2－a)2＋(－1－3)2＝52， 所以(a＋2)2＝32， 所以a＋2＝±3， 即a＝1，或a＝－5. 答案：1或－5 知识点二　点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ 微思考 1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ 提示：直线方程需化成一般式． 2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ 提示：A，B必须对应相同． 微练习 4．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1　　　　　　　　 B． C．2 D． 答案：D 5．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A．1 B． C. D．2 答案：B 题型一　平面上两点间的距离 [例1]　已知△ABC的坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． [解析]　法一：∵|AB|＝， ＝2 |AC|＝， ＝2 又|BC|＝， ＝2 ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝， ＝ kAB＝， ＝－ 则kAC·kAB＝－1， ∴AC⊥AB. 又|AC|＝， ＝2 |AB|＝， ＝2 ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以利用距离公式的特殊情况求解． [变式训练] (变设问)本例条件不变，求BC边上的中线AM的长． 解析：设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，即点M的坐标为(2,2)． ＝2，y＝ 由两点间的距离公式得|AM|＝.，所以BC边上的中线AM的长为＝ 题型二　点到直线的距离 [例2]　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝；(2)y＝6；(3)x＝4. x＋ [解析]　(1)直线y＝. ＝化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝x＋ (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． [跟踪训练] 求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知： d＝. ＝＝ 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 题型三　两平行线间的距离 [例3]　求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y