2.1 圆的方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

2．1　圆的方程 学习目标 知识导图 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(直观想象、数学抽象) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算) 3．掌握点与圆的位置关系．(数学抽象) 4．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(直观想象、数学运算) 5．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(直观想象、数学运算) 6．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(数学运算、直观想象) [问题导学] 阅读课本51～55页，思考以下问题： 1．圆的定义是什么？ 2．圆的标准方程是什么？ 3．圆的一般方程是什么？有什么特点？ 4．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ 5．已知圆的一般方程怎样去求圆心和圆的半径？ [知识梳理] 知识点一　圆的标准方程 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：是圆心和半径，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以(0,0)为圆心、半径为r的圆． 微练习 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.(　　) 答案：(1)×　(2)× 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为. ，半径长为 微练习 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　) (2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．(　　) 答案：(1)×　(2)√ 3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)． 答案：D 题型一　求圆的标准方程 [例1]　求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程． [解析]　法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则解得 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上． 线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)． 设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有 解得 所以C(2,1)，r＝|CA|＝. ＝ 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法三：设点C为圆心， 因为点C在直线2x－y－3＝0上， 所以设点C的坐标为(a,2a－3)． 又因为圆C过点A(5,2)和点B(3，－2)， 所以|CA|＝|CB|. 所以 ＝， 解得a＝2.所以圆心C(2,1)，半径r＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． [跟踪训练] 1．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________. 解析：设圆心为C(0，b)， 则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8， ∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 2．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程． 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 由题意得 解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111. 所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x－111)2＋(y－37)2＝1112. 题型二　圆的一般方程的辨析 [例2]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解析]　(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－