2.2 直线与圆的位置关系（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

2.2　直线与圆的位置关系 学习目标 知识导图 1.理解直线与圆的三种位置关系．(直观想象) 2．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(直观想象、数学运算) 3．会用方程思想(判别式法)判断直线与圆的位置关系．(数学抽象、数学运算) [问题导学] 阅读课本58～60页，思考以下问题： 1．直线与圆的位置关系有哪几种？ 2．直线被圆所截得的弦长公式是什么？弦长公式是怎样推导出来的？ [知识梳理] 知识点　直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 微练习 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　) (2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切　　　　　　 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝. ＝ 因为0<<1，故直线与圆相交但直线不过圆心． 答案：B 3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C. D．无解 解析：由于直线与圆相切，故，解得m＝0(舍去)或m＝2. ＝ 答案：B 4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________. 解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 故圆心为(3,4)，半径r＝5. 又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝. ＝4＝2＝2×，所以弦长为2＝ 答案：4 题型一　直线与圆位置关系的判断 [例1]　已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． [解析]　(法一：代数法) 由方程组 消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0. ∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280>0， ∴该方程组有两组不同的实数解， 即直线l与圆C相交． (法二：几何法) 圆心(7,1)到直线l的距离为d＝. ＝2 ∵d<r＝6，∴直线l与圆C相交． 直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 [跟踪训练] 1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相离 C．相交或相切 D．相切 解析：直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)， 而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 答案：C 2．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 解析：由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d<r， 故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交． 答案：C 题型二　切线问题 [例2]　(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________. (2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________. [解析]　(1)已知圆的圆心为O(0,0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝. ＝1，解得m＝±.由已知得d＝r，即＝ (2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意． 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2,3)到切线l的距离为，因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0. ＝1，解得k＝0或k＝－ [答案]　(1)±　(2)y＝4或3x＋4y－13＝0 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 3．求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统