2.3 圆与圆的位置关系（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

2.3　圆与圆的位置关系 学习目标 知识导图 1.了解圆与圆的位置关系．(直观想象) 2．会根据给定的两圆的方程判断圆与圆的位置关系．(数学运算) 3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．(数学抽象、数学运算) [问题导学] 阅读课本63～65页，思考以下问题： 1．圆与圆的位置关系有哪几种？它们分别怎样去判断？ 2．两圆相交，怎样求公共弦所在的直线方程？ [知识梳理] 知识点　圆与圆的位置关系 1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含. 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d< r1＋r2 d＝ |r1－r2| d< |r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D－4F1>0)， ＋E C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D－4F2>0)， ＋E 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 微练习 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) 答案：(1)×　(2)× 2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切　　　　　　　　 B．相交 C．外切 D．相离 解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为<R＋r，所以两圆相交． ，则R－r<＝ 答案：B 题型一　圆与圆位置关系的判断 [例1]　已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系． [解析]　(法一：几何法) 把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝. 把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5. 圆C1和圆C2的圆心距 d＝， ＝3 又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋. ，两半径长之差是r2－r1＝5－ 而5－， <5＋<3 即r2－r1<d<r1＋r2， 所以两圆的位置关系是相交． (法二：代数法) 将两圆的方程联立得到方程组 由①－②得x＋2y＋1＝0，　③ 由③得x＝－2y－1，把此式代入①， 并整理得y2－1＝0，　④ 所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1. 所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3,1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交． 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． [跟踪训练] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解析：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k<50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|＝6，即k＝14时，两圆内切． －1|＝5，即 当|， －1|<5<1＋ 即k∈(14,34)时，两圆相交． 当1＋－1|>5， <5或| 即k∈(34,50)∪(－∞，14)时，两圆相离． 题型二　与两圆相交有关的问题 [例2]　求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． [解析]　法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则有 ＝， 解得a＝， ，故圆心为 半径为 . ＝ 故圆的方程为， 2＝2＋ 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设