3.1.1 椭圆的标准方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

3．1　椭圆 3．1.1　椭圆的标准方程 学习目标 知识导图 1.掌握椭圆的定义、标准方程．(数学抽象、数学运算) 2．通过对椭圆标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想．(直观想象、数学运算) [问题导学] 阅读课本75～79页，思考以下问题： 1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？ 2．椭圆的标准方程是什么？ [知识梳理] 知识点一　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 微思考 定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：不是． 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0)＋ ＝1(a>b>0)＋ 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 微练习 1．若椭圆＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为(　　) ＋ A．1 B．2 C．4 D．6 答案：C 2．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) ＋ A．4 B．5 C．8 D．10 答案：D 3．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________. 答案：＝1 ＋＝1或＋ 题型一　求椭圆的标准方程 [例1]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝. [解析]　(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． ＋ ∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9， ∴椭圆的标准方程为＝1. ＋ (2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． ＋ 由椭圆的定义，知 2a＝＋ ＝， ＝2＋ ∴a＝. 又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6， ∴椭圆的标准方程为＝1. ＋ (3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.① 又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8. 又∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为＝1.＋ 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． [跟踪训练] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－； )， (2)过点(＝1有相同的焦点． ＋)，且与椭圆，－ 解析：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． ＋ 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1. ＋ 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为解得＝1(a>b>0)．由已知条件得＋ 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＝1. ＋ 法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－解得代入，得)， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. ＋ (2)因为所求椭圆与椭圆＝1(a>b>0)． ＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋ 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(＝1， ＋)在椭圆上，所以，－ 即＝1.②＋ 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＝1. ＋ 题型二　椭圆的定义及其应用 [例2]　(1)椭圆＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________； ＋ (2)椭圆＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________. ＋ [解析]　(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a. 又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|， 所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a. 故△ABF2的周长为4×5＝20. (2)由， ＝1，知a＝4，b＝3，c＝＋ ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2， ∴cos∠F1PF2＝， ＝ ∴∠F1PF2＝60°