3.1.2 椭圆的几何性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

3.1.2　椭圆的几何性质 学习目标 知识导图 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单性质． 2．能利用椭圆的简单性质求椭圆方程． 3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. [问题导学] 阅读课本81～84页，思考以下问题： 1．椭圆有哪些几何性质？什么叫作椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？ 2．什么是椭圆的离心率？离心率的变化范围是什么？ 3．椭圆的离心率与椭圆的形状有何关系？ [知识梳理] 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1(a>b>0)＋ ＝1(a>b>0)＋ 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 微思考 1．能用a，b表示椭圆离心率e吗？ 提示：能，e＝. 2．椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？ 提示：越圆． 3．椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远. 题型一　由标准方程研究几何性质 [例1]　求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [解析]　把已知方程化成标准方程为， ＝6＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＋ 所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝. ＝ 两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．，0)，F2(6 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 注意：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． [跟踪训练] 已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． ＋ (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解析：(1)由椭圆C1：. ＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝＋ (2)椭圆C2：＝1， ＋ 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝. 题型二　利用几何性质求标准方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解析]　(1)设椭圆的方程为 ＝1(a>b>0)． ＋＝1(a>b>0)或＋ 由已知得2a＝10，a＝5. 又∵e＝，∴c＝4. ＝ ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为＝1. ＋＝1或＋ (2)依题意可设椭圆方程为＝1(a>b>0)． ＋ 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＝1.＋ 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． [跟踪训练] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e＝； (2)过点M(1,2)，且与椭圆＝1有相同离心率． ＋ 解析：(1)当椭圆的焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， ＋ 由题意，得a＝3， 因为e＝， 所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＝1； ＋ 当椭圆的焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， ＋ 由题意，得b＝3， 因为e＝， 所以， ＝ 把b＝3代入，得a2＝27， 所以椭圆的标准方程为＝1. ＋ 综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＝1. ＋＝1或＋ (2)设所求椭圆方程为＝k1(k1>0) ＋ 或＝k2(k2>0)，