3.2.1 双曲线的标准方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

3.2　双曲线 3．2.1　双曲线的标准方程 学习目标 知识导图 1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程．(数学抽象) 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．(直观想象) 3．通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想．(直观想象、数学运算) [问题导学] 阅读课本88～91页，思考以下问题： 1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？ 2．双曲线的标准方程是什么？　　　 [知识梳理] 知识点一　双曲线的定义 把平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|的正数)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 微思考 定义中“常数小于|F1F2|”这一条件去掉，动点的轨迹还是双曲线吗？ 提示：不一定是． 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1－ (a>0，b>0) ＝1－ (a>0，b>0) 图形 续表 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的 关系 c2＝a2＋b2 微练习 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)方程＝1表示双曲线．(　　) － (2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．(　　) (3)若焦点在x轴上的双曲线方程为＝1，则a2>b2.(　　) － (4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知双曲线＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　) － A．(－，0) ，0)，( B．(－5,0)，(5,0) C．(0，－5)，(0,5) D．(0，－) )，(0， 答案：B 3．双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________. 答案：＝1 － 题型一　双曲线标准方程的认识 [例1]　已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) － A．k>5 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2 [解析]　∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0. 即或 解得k>5或－2<k<2. [答案]　B 双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为则方程表示焦点在y轴上的双曲线．则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若＋ [跟踪训练] 1．已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) ＋ A. B．5 C．7 D． 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为. ＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝－ 答案：D 2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆 解析：方程mx2－my2＝n可化为<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线． ＝1.由mn<0知－ 答案：C 题型二　求双曲线的标准方程 [例2]　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． [解析]　(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2， 得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 故双曲线的标准方程为＝1. －＝1或－ (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． 因为点A(－5,6)在双曲线上， 所以2a＝|| － ＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是＝1.－ 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． －＝1或－ 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0. [跟踪训练] 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线，2)； ＝1有公共焦点，且过点(3－ (2)双曲线过两点P. ，Q 解析：(1)设双曲线的标准方程为 ＝1(－4<k<16)． － 将点(3，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍