3.2.2 双曲线的几何性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

3.2.2　双曲线的几何性质 学习目标 知识导图 1.理解双曲线的几何性质．(直观想象) 2．能用双曲线的性质解决一些简单的问题．(数学运算) [问题导学] 阅读课本94～98页，思考以下问题： 1．双曲线有哪些几何性质？ 2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？ 3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？　　　 [知识梳理] 知识点　双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 － (a>0，b>0) ＝1 － (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a， y∈R y≤－a或y≥a， x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 续表 标准方程 ＝1 － (a>0，b>0) ＝1 － (a>0，b>0) 性质 轴 实轴：线段A1A2，长：2a； 虚轴：线段B1B2，长：2b； 半实轴长：a，半虚轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 微练习 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是2.(　　) (2)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　) (3)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　　) －＝1与－ (4)双曲线＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　) － 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　) A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0) C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1) 答案：B 题型一　双曲线的几何性质 [例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [解析]　双曲线的方程化为标准形式是＝1， － ∴a2＝9，b2＝4， ∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)， ，0)，( 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝x.，渐近线方程为y＝±＝ 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 注意：求性质时一定要注意焦点的位置． [跟踪训练] 1．已知双曲线＝1，下列说法正确的是(　　) －＝1与－ A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 解析：双曲线，因此可排除选项D；易得C正确． ＝＝1的离心率e2＝ －，而双曲线＝＝1的离心率e1＝ －＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－ 答案：C 2．设双曲线，则双曲线的渐近线方程为(　　) ＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2－ A．y＝±xx B．y＝± C．y＝±2x D．y＝±x 解析：由已知可得2b＝2,2c＝2x. x＝±x＝±，∴双曲线的渐近线方程为y＝±＝＝，∴a＝，∴b＝1，c＝ 答案：B 题型二　由双曲线的几何性质求标准方程 [例2]　(1)以椭圆＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　) ＋ A.＝1 － B.＝1 － C.＝1 －＝1或－ D．以上都不对 (2)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为____________. [解析]　(1)当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4＝1. －，双曲线方程为＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3－，双曲线方程为 (2)法一：当焦点在x轴上时，由于. ＝ 故可设方程为＝1， － 代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)； 当焦点在y轴上时，可知， ＝ 故可设方程为＝1， － 代入点(2，－2)得a2＝2. 所以所求双曲线方程为＝1. － 法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝λ(λ≠0)， －y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为 代入点(2，－2)得λ＝－2， 所以所求双曲线的方程为－y2＝－2， 即＝1. － [答案]　(1)C　(2)＝1 － 1．用待定系数法求双曲线的标准方程的思路 2．如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±＝λ(λ≠0)．－x，那么此双曲线方程可设为 [跟踪训练] 　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；