3.3.1 抛物线的标准方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

3.3　抛物线 3．3.1　抛物线的标准方程 学习目标 知识导图 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．(数学抽象、直观想象) 2．通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合思想．(直观想象、数学运算) [问题导学] 阅读课本101～104页，思考以下问题： 1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫作抛物线？它的焦点、准线分别是什么？ 2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？　　　 [知识梳理] 知识点一　抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 微思考 在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 提示：不一定是． 知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p>0) x＝－ 续表 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝－2px (p>0) x＝ x2＝2py (p>0) y＝－ x2＝－2py (p>0) y＝ 微练习 1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0,1) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(1,0) D．开口向右，焦点为 答案：B 2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　) A．(8,8) B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8) 答案：C 3．已知动点P到定点(0,2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________. 答案：x2＝8y 题型一　抛物线的标准方程 [例1]　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点M(－6,6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． [解析]　(1)由于点M(－6,6)在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p>0)， 将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)， ∴p＝3，∴抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py(p>0)， 将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6， ∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F(2,0)， ∴＝2， ∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x. ②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)， ∴＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程. [跟踪训练] 1．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________. 解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝x， ∴2p＝， ，p＝ ∴焦点坐标为， 准线方程为x＝－. 答案：　x＝－ 2．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程． 解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)． 由抛物线的定义得|AF|＝＝5， 又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 题型二　抛物线定义 [例2]　(1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)若位于y轴右侧的动点M到F.求点M的轨迹方程． 的距离比它到y轴的距离大 [解析]　(1)抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，|PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5. (2)由于位于y轴右侧的动点M到F的距离相等． 的距离与它到直线l：x＝－，所以动点M到F的距离比它到y轴的距离大 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y2＝2px(p>0)的形式， 而，所以p＝1,2p＝2， ＝ 故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)． [答案]　(1)B　(2)见解析 [变式训练]