3.3.2 抛物线的几何性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

3.3.2　抛物线的几何性质 学习目标 知识导图 1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．(直观想象) 2．通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．(直观想象、数学运算) [问题导学] 阅读课本106～107，思考以下问题： 抛物线有哪些几何性质？　　　 [知识梳理] 知识点　抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称 轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 续表 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 性质 离心 率 e＝1 开口 方向 向右 向左 向上 向下 微思考 1．在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？ 提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 2．抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系． 提示： y2＝ax 一次项为x项，x轴为对称轴 a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右 a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左 x2＝ay 一次项为y项，y轴为对称轴 a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上 a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下 题型一　抛物线方程及其几何性质 [例1]　已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程． [解析]　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝)在抛物线y2＝2px上，点(－1，代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，，把y1＝.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，即y1－y2＝2 用待定系数法求抛物线方程的步骤 注意：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程. [跟踪训练] 1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝xx B．y2＝－ C．y2＝±xx D．y2＝± 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 又A(取点A在x轴上方)，则 有a， ＝± 解得a＝±x. ，所以抛物线方程为y2＝± 答案：C 2．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________. 解析：设点P的坐标为(x，y)，则y2＝4x，x≥0， |PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8. 当x＝1时，|PA|的最小值为2. 答案：2 题型二　焦点弦问题 [例2]　过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程． [解析]　由于抛物线的焦点F， 故可设直线AB的方程为x＝my＋. 由得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2， ∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x. 1.已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)； (3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)； (4)； ＝＋ (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 2.当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p. [跟踪训练] 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 解析：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F＝x1＋x2＋p＝6， ＋.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝，