4.1 数列（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

4．1　数列 学习目标 知识导图 1.通过身边的具体案例感受数列的相关概念．(数学抽象) 2．通过具体的数列，结合函数的概念理解数列的概念及其函数特征．(数学抽象) 3．类比函数的表示方法体会数列的表示方法，理解函数解析式与数列的通项公式的关系．(数学运算) [问题导学] 阅读课本122～126页，思考以下问题： 1．什么是数列？什么叫数列的通项公式？ 2．数列的项与项数一样吗？ 3．数列与函数有什么关系，数列的通项公式与函数解析式有什么联系？ 4．数列是如何分类的？ 5．什么叫数列的递推公式？ 6．由数列的递推公式能否求出数列的项？　　　 [知识梳理] 知识点一　数列的概念 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每个数都叫作这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫作首项. 3．记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 微思考 1．2,3,4,5和5,4,3,2是相同的数列吗？ 提示：不是． 2．{an}与an是两个相同的概念吗？ 提示：不是．{an}表示数列a1，a2，…，an，而an只是数列{an}中的第n项． 知识点二　数列的分类 1．按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 微练习 1．给出下列数列： ①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000； ③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810. 其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；常数列为________.(填序号) 解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；常数列为③. 答案：②④　①③　②　④　③ 知识点三　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 微思考 3．数列{an}与函数有什么关系？ 提示：数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2，…，n}． 4．数列的表示方法有哪些？ 提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法． 5．用图象法表示数列时，其图象有什么特点？ 提示：其图象是一些离散的点． 6．是否所有的数列都有通项公式？ 提示：不是．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 7．an＝(n∈N*)都是数列0,1,0,1，…的通项公式吗？ 和an＝ 提示：是． 第四章　数列数学　选择性必修　第一册 知识点四　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式． 微练习 2．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　) A．1,2,3,4，… B．1，，…，2,2 C.，…，2,2，2，… D．0，，2， 解析：B中相邻的两项，后一项是前一项的an－1. 倍，符合递推公式an＝ 答案：B 3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　) A．－3 B．－21 C．－5 D．19 解析：由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1， 则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19. 答案：D 4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________. 解析：由a1＝1，an＝1＋，得a2＝2， a3＝. ，a5＝，a4＝ 答案： 题型一　由数列的前几项求通项公式 [例1]　(1)数列，…的一个通项公式是________； ，，， (2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式： ①，…； ，，， ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，…. [解析]　(1)数列可写为：，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…， ，，， 分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…， 故通项公式为an＝. (2)①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， ∴an＝. ②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1， ∴an＝(－1