4.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 4．2.2　等差数列的通项公式 第一课时　等差数列的概念及通项公式 学习目标 知识导图 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．(数学抽象) 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．(逻辑推理) 3．体会等差数列与一元一次函数的关系．(数学抽象) [问题导学] 阅读课本129～133页，思考以下问题： 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？ 2．等差数列的通项公式是什么？ 3．等差中项的定义是什么？(P135习题11)　　　 [知识梳理] 知识点一　等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示． 微思考 1．若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列吗？ 提示：不一定，必须是同一个常数． 知识点二　等差数列的通项公式 1．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫作a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 微练习 1．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，公式an等于(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案：C 2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．±2 解析：由已知得， 解得d＝±1. 答案：C 微思考 2．等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？ 提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列(其中n∈N*)． 题型一　等差数列的通项公式及应用 [例1]　在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. [解析]　(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 (2)设数列{an}的公差为d. 由已知得，解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. [跟踪训练] 1．2 020是等差数列4,6,8，…的(　　) A．第1 007项 B．第1 008项 C．第1 009项 D．第1 010项 解析：∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2 020＝2n＋2，解得n＝1 009. 答案：C 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解析：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知 解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153， 解得n＝45∈N*， 所以153是所给数列的第45项． 题型二　等差中项的应用 [例2]　已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式． [解析]　在等差数列{an}中， ∵a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝18，a3＝6. ∴ 解得或 当时，a1＝16，d＝－5. an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)×(－5)＝－5n＋21. 当时，a1＝－4，d＝5. an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)×5＝5n－9. a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判断或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)． [跟踪训练] 1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列， 所以解得 答案：5　－1　－4 2．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________. 解析：由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∵