第4章 习题课 等差数列的性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦等差数列性质，承接前期概念与通项公式，通过“问题-提示”链引导学生探究构造新数列、项间关系等性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题驱动培养数学思维，如一题多解推导项间关系，用对称设项技巧强化数学语言表达。课堂小结系统梳理知识与方法，学生能提升运算效率，教师可借分层训练落实核心素养。

习题课 第4章　数列 <<< 等差数列的性质 1.能根据等差数列的定义，推导等差数列的常用性质，并能熟练应用性质简化运算和解决具体问题. 2.能通过巧妙设项解决相关等差数列的计算问题. 学习目标 同学们，前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，明白了等差数列是一种特殊的函数，今天我们来具体研究一下等差数列的性质. 导 语 一、由等差数列构造新等差数列 二、等差数列中任意两项之间的关系 课时对点练 三、等差数列中的下标性质 随堂演练 内容索引 四、巧妙设项求解等差数列 由等差数列构造新等差数列 一 问题1 已知{an}为一个无穷等差数列，首项为a1，公差为d.将{an}的前m项去掉，剩余各项组成的新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ 提示　由题意，将{an}的前m项去掉，剩余各项组成的新数列是等差数列，首项为am＋1，公差为d. 问题2 已知{an}为一个无穷等差数列，首项为a1，公差为d. (1)取出{an}中的所有奇数项，组成的新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ 提示　由题意，取出{an}中的所有奇数项，组成的新数列是等差数列，首项为a1，公差为2d. 问题2 (2)取出{an}中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 提示　由题意，取出{an}中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列是等差数列，首项为a7，公差为7d. 猜想：等差数列{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列. 问题3 若数列{an}，{bn}均是无穷等差数列，首项为a1，b1公差为d，d'，判断数列{2an＋3bn}是否是等差数列.如果是，公差是多少？ 提示　设新数列为{cn}，则cn＝2an＋3bn， 所以cn＋1－cn＝(2an＋1＋3bn＋1)－(2an＋3bn) ＝2(an＋1－an)＋3(bn＋1－bn)＝2d＋3d'，为常数， 故数列{2an＋3bn}是等差数列，公差是2d＋3d'. 若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的无穷等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列(p，q为常数) 知识梳理 　　 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是 A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.公差为d2的等差数列 D.公差为4d的等差数列 例 1 √ 由于数列{an}是公差为d的等差数列，因此，当n∈N*时，an＋1－an＝d，所以当n∈N*时，dan＋1－dan＝d(an＋1－an)＝d2. 解析 11 (2)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 A.15 B.16 C.17 D.18 √ 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤， 而n∈N*，所以n的最大值为16. 解析 12 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： (1)定义：an－an－1(n≥2)是否为常数； (2)通项公式是否能写成pn＋q的形式，其中p，q为常数. 反 思 感 悟 13 在已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　.  跟踪训练 1 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100 ＝399，所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25. 解析 12n－1 25 14 二 等差数列中任意两项之间的关系 问题4 如果是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求出数列的通项公式吗？ 提示　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d， 即an＝a3＋(n－3)d＝2n－1. 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)； (2)an＝am＋_________(m，n∈N*)； (3)d＝________(m，n∈N*，且m≠n). (n－m)d 知识梳理 若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0. (证明：，即，＝－1，故an＋m＝0). 注 意 点 <<< 18 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 例 2 19 方法一　(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列{an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 解 20 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24. 解 21 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担. 反 思 感 悟 22 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝　　　.  跟踪训练 2 方法一　∵{bn}为等差数列， ∴可设其公差为d， 则d＝＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴b8＝2×8－8＝8. 方法二　由＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 解析 8 23 等差数列中的下标性质 三 问题5 若数列是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 提示　由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq. 1.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝_______. 2.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝____. (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. ap＋aq 2ap 知识梳理 已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于 A.7 B.14 C.21 D.7(n－1) 例 3 √ 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7， 所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. 解析 27 在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 延伸探究 方法一　设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， ∴a10＝10. 方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10. 解 28 等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 反 思 感 悟 29 数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是 A.－2 B.－ C.2 D. 跟踪训练 3 由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3. 所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4， 所以3a4＝9，则a4＝3， 所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12， 故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2. 解析 √ 30 巧妙设项求解等差数列 四 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； 例 4 设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得 所以这三个数为4，3，2. 解 32 (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1， 所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 解 33 等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式. (2)当已知数列有3项时，可对称的设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可对称的设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出. 反 思 感 悟 34 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5 个数. 跟踪训练 4 35 设第三个数为a，公差为d， 则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 整理得解得 当d＝时，这5个数分别是－，1，； 当d＝－时，这5个数分别是，1，，－. 综上，这5个数分别是－，1，，1，，－. 解 36 1.知识清单： (1)由等差数列构造新等差数列. (2)等差数列中任意两项之间的关系. (3)等差数列中的下标性质. (4)巧妙设项求解等差数列. 2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是 A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 √ 因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列. 解析 1 2 3 4 2.在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于 A.3 B.－3 C. D.－ √ 由等差数列的性质得a4＋a5＝a2＋a7， 所以a2＝15－12＝3. 解析 1 2 3 4 3.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为 A.98 B.88 C.78 D.68 √ 设这三个数为a－d，a，a＋d， 则解得 ∴这三个数为－1，4，9或9，4，－1. ∴它们的平方和为98. 解析 1 2 3 4 4.在等差数列(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是　 　.  ∵数列是等差数列， ∴a1＋a5＝a2＋a4， 又a1＝a2＋a4， ∴a5＝0， ∴d＝＝－1， 故a20＝a5＋15d＝－15. 解析 －15 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D D B B BCD 题号 7 8 11 12 13 14 答案 -21 35 C B C 4 题号 15 答案 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得4a13＝48，∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34， 即a2＋a5＝17， 由 ∴d＝＝3或d＝＝－3. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，得 解得 又四个数成递减等差数列，所以d<0， 所以d＝－，故所求的四个数为11，8，5，2. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an＝a5＋(n－5)d＝4n－16. 在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12， 公差d'＝d＝， ∴bn＝－12＋(n－1)＝n－. ∴b50＝. 由a50＝184＝n－，得n＝148. ∴a50是新数列的第148项. 基础巩固 1.已知数列是第4项为4，公差为3的等差数列，则a11等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得＝4＋(11－4)×3＝25，则a11＝. 解析 2.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为 A.7 B.5 C.3 D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1. 解析 3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少个橘子.”则这5个人所得橘子个数的中位数是 A.6 B.8 C.10 D.12 √ 设这5个人所得橘子数分别为a－6，a－3，a，a＋3，a＋6，∴(a－6)＋(a－3)＋a＋(a＋3)＋(a＋6)＝60，解得a＝12，∴这5个人所得橘子个数的中位数为12. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为 A.12 B.8 C.6 D.4 √ 由等差数列的性质，得 a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8， 又d≠0，∴m＝8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于 A.13 B.3－ C.3－ D.5－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝5，am＝3， 所以d＝. 所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－. 解析 6.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是 A.{|an|} B.{an＋1－an} C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列－1，1，3是等差数列， 取绝对值后，1，1，3不是等差数列，A不成立. 若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知， {an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立. 若{an}的公差为d， 则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立. (2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立. 解析 7.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这三个数为a－d，a，a＋d， 则解得 所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1. 所以这三个数的积为－21. 解析 －21 8.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an＋bn}也构成等差数列， 所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 所以2×21＝7＋a5＋b5， 所以a5＋b5＝35. 解析 35 9.在等差数列{an}中. (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； 根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得4a13＝48，∴a13＝12. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34， 即a2＋a5＝17， 由 ∴d＝＝3或d＝＝－3. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，得解得 又四个数成递减等差数列，所以d<0， 所以d＝－， 故所求的四个数为11，8，5，2. 解 11.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， ∴5a8＝120，a8＝24， ∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16. 解析 12.在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 013＋a2 025等于 A.10 B.15 C.20 D.40 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a2＋a2 024＝10， 由等差数列的性质得2a1 013＝10，即a1 013＝5， ∴a1＋a1 013＋a2 025＝3a1 013＝15. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在等差数列{an}中，p，q∈N*，且p≠q，若ap＝q2，aq＝p2，则ap＋q等于 A.－(p＋q) B.－(p＋q) C.－pq D.－pq √ 设等差数列{an}的公差为d，则ap＝a1＋(p－1)d＝q2， aq＝a1＋(q－1)d＝p2， 两式相减得d＝－(p＋q)，则ap＋q＝ap＋qd＝q2－q(p＋q)＝－pq. 解析 14.在等差数列{an}中，若＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 ∵在等差数列{an}中，＋2a2a8＋a6a10＝16， ∴＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， ∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16， ∴a4a6＝4. 解析 15.数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列{an}，数列{bn}满足：bn＝，则数列{bn}的最大项等于　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列为：1，7，13，…，该数列为首项为1，公差为6的等差数列， 所以an＝6n－5， 所以bn＝， 因为bn＋1－bn＝，所以当n≥2时，bn＋1－bn<0， 即b2>b3>b4>…， 又b1<b2， 所以数列{bn}的最大项为第二项，其值为. 解析 16.已知在等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an＝a5＋(n－5)d＝4n－16. 在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12， 公差d'＝d＝， ∴bn＝－12＋(n－1)＝n－. ∴b50＝. 由a50＝184＝n－，得n＝148. ∴a50是新数列的第148项. 解 第4章　数列 <<< $