4.1.1 根式（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

4．1　指数 4．1.1　根式 学　习　目　标 知　识　网　络 1．理解n次方根，根式的概念．(数学抽象) 2．能正确运用根式运算性质化简求值．(数学运算) [问题导学] 1．一个数的平方根、立方根的含义分别是什么？ 2．如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么x可称为什么？当n分别为奇数和偶数时，有无区别？ [知识梳理] 知识点一　n次方根、根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3．根式 式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数. 微思考 如何理解n次方根的概念？ 提示：(1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn＝a，因此求一个数a的n次方根就是求一个数的n次方等于a. (2)n次方根，实际上就是平方根与立方根的推广． (3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算． 知识点二　根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的n次方根等于0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)(n为大于1的偶数)． ＝|a|＝ 微辨析 (有何区别？)n与 )n有意义的前提下，实数a的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.的n次幂，在()n是实数(＝|a|＝＝a；当n为偶数时，是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制，其算法是先乘方，后开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时， 题型一　方根和根式的概念 [例1]　计算： (1)16的算术平方根，16的平方根； (2)27的立方根，－27的立方根． [答案]　(1)4，±4　(2)3，－3 正数的偶数次方根有两个，它们互为相反数；正数的奇数次方根有一个，是正数．负数没有偶数次方根，负数的奇数次方根是一个负数． [跟踪训练] 1．－64的三次方根是________；32的五次方根是________. 答案：－4　2 题型二　根式的运算 [例2]　化简： (1)(x<π，n>1且n∈N*)； (2)已知a<b<0，n>1，n∈N*，化简. ＋ [解析]　(1)∵x<π，∴x－π<0.当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时， ＝x－π. 综上， ＝ (2)∵a<b<0，∴a－b<0，a＋b<0. 当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a； 当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a. 综上，＝＋ 1．解决根式的化简或求值问题首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．注意对)n进行区分． 和( 3．对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差、立方和、完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． [跟踪训练] 2．求下列各式的值： (1)； －＋ (2)； ＋ (3). －－＋ 解析：(1)原式＝. ＝－－＝－＋ (2)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．所以原式＝ (3)原式＝－－＋ ＝－－＋ ＝|| |－|1－|－|2－|＋|2－＋ ＝＋1.－1)＝)－(－(2－＋2－＋ 根式的记忆口诀　　　　　　　　　►数学运算 正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零． [典例]　计算 的值． ＋ [解析]　.－1＝2＋|＝1＋)＋|1－＝(1＋＋ A层(必备知识练) 1．下列各式正确的是(　　) A．＝a＝－5　　　　 B． C．＝π ＝7 D． 解析：由于＝－π，故A，B，D项错误． ＝|a|，＝5， 答案：C 2．下列说法： ①的运算结果是±3； ②16的4次方根是2； ③当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义； ④当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义． 其中正确的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：对于①，因为偶次根式的结果不可能是负数，①错误；对于②，偶次方根的结果有正有负，②错误；根据幂指数的运算法则可知③④正确．则正确的个数为2. 答案：C 3．若＋(x－1)0(x∈N，n>1)有意义，则x的取值范围是(　　) A．[－1,1)∪(1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，1)∪(1，＋∞)