4.1.2 指数幂的拓展（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

4．1.2　指数幂的拓展 学　习　目　标 知　识　网　络 1．了解实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算．(数学抽象) 2．使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化．(数学运算) 3．能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算．(数学运算) [问题导学] 根据n次方根的定义和数的运算，＝a3＝a(a>0)．这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？ ＝＝a2＝a(a>0)，＝ [知识梳理] 知识点一　分数指数幂的意义 分数 指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 微思考 1．为什么分数指数幂的底数规定a>0? 提示：当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义； 当a＝0时，a无意义． 知识点二　有理数指数幂的运算性质 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 微思考 2．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？ 提示：ar÷as＝ar－s；r.＝ 知识点三　无理数指数幂 无理数指数幂ax(a>0，x是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用． 微辨析 　几种幂指数的区别 幂指数 定义 底数的取值范围 整数 指数 正整数指数 (n∈N*) a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数指数 a－n＝(n∈N*) a≠0且a∈R 有理数指数 正分数指数 a＝(m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数指数 a＝(m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a≠0且a∈R n为偶数 a＞0 无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 题型一　根式与分数指数幂的互化 [例1]　用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1). ；(3) ；(2)a3· [解析]　(1)＝a. ＝ (2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a. (3)＝b·＝ ＝b·(－a－2) ＝－ba. 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. [跟踪训练] 1．将下列根式化成分数指数幂的形式． (1) (b>0)． (x>0)；(3)(a>0); (2) 解析：(1)原式＝ ＝a. ＝＝ (2)原式＝＝x. ＝＝＝＝ (3)原式＝[(b)]＝b＝b. 题型二　指数幂的运算 [例2]　计算下列各式： (1)－0.010.5； 0＋2－2× (2)0.064－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75. [解析]　(1)原式＝1＋. ＝－＝1＋－× (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝.＝＋－1＋ 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． [跟踪训练] 2．计算： (1))0； －－2)－1＋(＋(0.002)－10( (2)216＋－. －2－343－ 解析：(1)原式＝(－1)×. －20＋1＝－－10＋10＋2)＋1＝＋500－10(＋1＝－＋ (2)原式＝(63)＋32－(73)－(5－3)－＝36＋9－7－5＝33. 3．化简下列各式： (1)(x>0，y>0)； (2)(xyz－1)·(x－1yz3)－(x>0，y>0，z>0)． 解析：(1)原式＝＝x－y－＝xy. (2)原式＝(xyz－1)·(xy－z－1)＝x＋·y－·z－1－1＝xz－2. 题型三　条件求值问题 [例3]　已知a＋a＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解析]　(1)将a＋a＝两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1