4.2.1 对数的概念（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

4．2　对数 4．2.1　对数的概念 学　习　目　标 知　识　网　络 1．了解对数的概念．(数学抽象) 2．会进行对数式与指数式的互化．(数学抽象) 3．会求简单的对数值．(数学运算) [问题导学] 1．对于指数24＝？是大家熟悉的实数运算，显然24＝16，如果问题转化为：若2x＝16，则x＝？ 2．式子logmN中，底数m的范围是什么？ 3．对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 4．指数式与对数式如何互化？ [知识梳理] 知识点一　对数的概念 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数. 微思考 loga N是一个什么样的量？ 提示：一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写． 知识点二　常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log10N简记为lg__N. 在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N. 微练习 1．lg 1 000＝ __________；ln e＝________. 答案：3　1 知识点三　对数与指数的关系 若a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)． 微练习 2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)53＝125；(2)8＝4；(3)lg 0.001＝－3；(4)log4＝－2. 解析：(1)log5125＝3. (2)log84＝. (3)10－3＝0.001.(4)－2＝4. 知识点四　对数的性质 1．零和负数无对数，即真数N＞0. 2．底的对数为1,1的对数为0，即logaa＝1，loga1＝0(a＞0且a≠1)． 微练习 3．在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　) A．b<2或b>5　　　　 B．2<b<5 C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4 解析：∵∴2<b<5且b≠4. 答案：D 题型一　指数式与对数式的互化 [例1]　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝－2＝16；(3)log27＝－3；(4)log64＝－6. ；(2) [解析]　(1)∵3－2＝＝－2. ，∴log3 (2)∵－2＝16，∴log16＝－2. (3)∵log27＝－3，∴－3＝27. (4)∵log64＝－6，∴()－6＝64. 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式： 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式： 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [跟踪训练] 1．将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2)logx＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝. 解析：(1)因为log216＝4，所以24＝16. (2)因为logx＝6，所以()6＝x. (3)因为43＝64，所以log464＝3. (4)因为3－3＝＝－3.，所以log3 题型二　对数的计算 [例2]　求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x； (4)－ln e2＝x. [解析]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝. (2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝. (3)10x＝100＝102，于是x＝2. (4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2， 所以x＝－2. 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． [跟踪训练] 2．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝__________. 解析：∵log5x＝2，∴x＝52＝25. ∵logy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 答案：27 题型三　对数的性质 [例3]　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1； (3)log3(log4(log5x))＝0. [解析]　(1)∵log2(log5x)＝0, ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. (3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(l