4.2.2 对数的运算性质(1)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

4．2.2　对数的运算性质(1) 学　习　目　标 知　识　网　络 1．通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．(数学抽象) 2．灵活运用对数运算性质化简求值．(数学运算) [问题导学] 1．你知道log63与log62的值吗？你能算出log63＋log62的值吗？如果设x＝log63，y＝log62，则6x＝______,6y＝_______，怎样由这两个式子得到x＋y? 2．由指数运算的运算法则aαaβ＝aα＋β能得出对数运算具有什么运算法则？ [知识梳理] 知识点　对数的运算性质 1．如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN，积的对数等于对数的和； (2)loga＝logaM－logaN，商的对数等于对数的差； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 2．对数运算中的常用结论 已知a>0，且a≠1. (1)loga＝logaM－1＝－logaM(M>0)； (2)logalogaM(M>0，n，p∈N*，p>1)； ＝logaM＝ (3)推广：logaN1＋logaN2＋…＋logaNk＝loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0)． 微思考 当M，N同号时，式子loga(MN)＝logaM＋logaN成立吗？ 提示：不一定成立．当M，N同正时，成立；当M，N同负时，logaM，logaN无意义，从而原式不成立． 题型一　用已知对数表示未知对数 [例1]　用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga. ； (2)loga(x3y5)；(3)loga [解析]　(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz. (2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay. (3)loga＝loga ＝logax2＋logay＋logaz－ ＝2logax＋logaz.logay－ 应用对数的运算性质变形时，需注意对数真数的特点． [跟踪训练] 1．用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg (x2y4z5)；(2)lg . 解析：(1)lg (x2y4z5)＝2lg x＋4lg y＋5lg z. (2)lg lg x.＝lg y＋3lg z－ 题型二　对数式的化简与求值 [例2]　计算下列各式： (1)＋lg (0.01)－1； lg 25＋lg 2＋lg (2)2log32－log3＋log38－3log55； (3)(lg 5)2＋lg 2·lg 50； (4)lg ()． ＋ [解析]　(1)原式＝lg [25×2×10×(10－2)－1] ＝lg (5×2×10×102) ＝lg 10＝. (2)原式＝2log32－5log32＋log332＋3log32－3＝2－3＝－1. (3)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5) ＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2 ＝(lg 5＋lg 2)2＝1. (4)原式＝)2＋lg ( ＝lg (6＋4) )＝lg (6＋2 ＝.lg 10＝ 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则： 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． [跟踪训练] 2．计算下列各式的值： (1) log2(47×25)； (2)(lg 2)2＋lg 20×lg 5； (3)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18. 解析：(1)log2(47×25) ＝ log247＋log225 ＝7log24＋5log22 ＝7×2＋5×1＝19. (2)(lg 2)2＋lg 20×lg 5 ＝(lg )2＋lg (10×2)×lg ＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)×(1－lg 2)＝ (lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1. (3)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 自然对数的应用　　　　　　　　　►数学抽象、数学运算 同时对等式两边取e为底的对数，主要是数学代数式中出现e，而解题需要取对数时往往用自然对数解答． [典例]　已知实数α，β满足αeα＝e3，β(ln β－1)＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝__