4.2.2 对数的运算性质(2)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

4．2.2　对数的运算性质(2) 学　习　目　标 知　识　网　络 1．掌握对数运算的换底公式．(数学抽象) 2．会用对数运算的换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能够进行一些简单的化简．(数学运算) [问题导学] 对数的底可以是任意不等于1的正数，那么知道常用对数的值，能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？(lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0) [知识梳理] 知识点　对数换底公式及结论 1．换底公式：logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 2．常用的对数换底公式，其中，a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0且b≠1，m，n∈N*. (1)loganbn＝＝logab； ＝ (2)logambn＝logab； ＝＝ (3)logab＝. ＝＝ 微练习 　计算： (1)(log43＋log83)×； (2)logab·logbc·logcd·logda. 解析：(1)原式＝. ＝＋＝×＋×＝× (2)logab·logbc·logcd·logda＝＝1.··· 题型一　利用换底公式求值 [例1]　求log89×log2732的值． [解析]　log89×log2732＝.＝×＝×＝× 利用换底公式求值的思想与注意点 [跟踪训练] 1．计算： (1)log29·log34；(2). 解析：(1)由换底公式可得， log29·log34＝＝4. ·＝· (2)原式＝.＝－×＝××log9＝＝log× 题型二　换底公式的应用 [例2]　已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示) [解析]　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝＝＝ ＝.＝＝ 求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式． (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法． (3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题． [变式训练] 　(1)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)? (2)若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？ 解析：(1)因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b. (2)因为9b＝5，所以log95＝b. 所以log3645＝.＝＝＝ 题型三　对数的应用题 [例3]　物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)．我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间，则60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的(　　) A．倍　　　　　　　　 B．10倍 C．100倍 D．lg 倍 [解析]　因为音量大小与强度为I的声波的关系为η＝10lg ，所以I＝I010， 所以I1＝I010＝I0106，I2＝I010＝I0104，所以＝100. ＝ [答案]　C 理解题意找到数学关系式是解应用题的关键，应用对数的运算性质计算． [跟踪训练] 2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为 (ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 解析：∵I＝19， ＝0.95K，则e0.23＝，所以I＝ 所以0.23＋53≈66. ＝ln 19≈3，解得t*≈ 答案：C 条件求值问题　　　　　　　　　►数学抽象、数学运算 带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题． [典例]　若6x＝5y＝a，且＝1，求a的值． ＋ [解析]　∵6x＝5y＝a，∴xlg 6＝lg a，ylg 5＝lg a. ∴＝loga5. ＝＝loga6，＝ ∴＝loga6＋loga5＝loga30＝1，∴a＝30.＋ A层(必备知识练) 1．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log245等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：由lg 2＝a，lg 3＝b，则log245＝. ＝＝＝ 答案：D 2．若log34·log8m＝log