5.1 第一课时 函数的概念（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

5．1　函数的概念和图象 第一课时　函数的概念 学　习　目　标 知　识　网　络 1．了解函数概念产生的背景，掌握函数的概念，并能够借助函数的知识来表述、刻画事物的变化规律．(数学抽象) 2．理解用集合、对应的思想定义函数．(数学抽象) 3．理解函数符号的含义，并能够根据函数表达式求出其定义域．(数学运算) [问题导学] 1．初中学过哪几种函数？它们的一般形式分别是什么？ 2．初中函数定义是什么？高中函数定义是什么？它们有什么区别？ [知识梳理] 知识点　函数的概念 概念 给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 y＝f(x)，x∈A 对应关系相同，定义域相同的两个函数就是同一个函数 定义域 集合A(自变量x的取值范围) 值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域 微思考 1．如何理解对应关系f的含义？ 提示：对应关系f是函数的本质特征，就像计算机中的某个“程序”，当“f(　　)”的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．(如图) 2．定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？ 提示：不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数． 题型一　函数的概念 [例1]　下列对应是从集合A到B的函数的是(　　) A．A＝N，B＝N，对应关系f：“求平方根” B．A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝ C．A＝R，B＝Q，对应关系f：x→y＝ D．A＝N，B＝N*，对应关系f：x→y＝|x－2| [解析]　A＝N，B＝N，对应关系f：“求平方根”，则A中元素2在B中没有元素对应，不是函数，故A错误； A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝则A中任一元素在B中都有唯一元素与之对应，是函数，故B正确； A＝R，B＝Q，对应关系f：x→y＝，则A中元素3在B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误； A＝N，B＝N*，对应关系f：x→y＝|x－2|，则A中元素2在B中没有元素与之对应，不是函数，故D错误． [答案]　B 判断对应关系是不是函数的方法 主要看以下三个方面：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素是唯一的． [跟踪训练] 1．下列对应关系f是从集合A到集合B的函数的有__________. ①A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ②A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1； ③A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1； ④A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1. 解析：对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此①②中的对应关系f是从集合A到集合B的一个函数． ③对于集合A中的值3，在集合B中没有与之对应的值，因此对应关系f不是从集合A到集合B的一个函数． ④对于任意一个值x，与之对应的2x＋1的值是唯一确定的，又当x≥－1时，2x＋1≥－1，所以对应关系f是从集合A到集合B的一个函数，可以表示为f(x)＝2x＋1，x≥－1. 答案：①②④ 题型二　求函数的定义域 [例2]　求下列函数的定义域． (1)y＝； (2)y＝； · (3)y＝； (4)y＝. ＋ [解析]　(1)由题意，知即 ∴其定义域为. (2)由题意，知∴x＝1，∴其定义域为{x|x＝1}． (3)由题意，知即 ∴其定义域为{x|x≤1，且x≠0}． (4)由题意，知即 ∴其定义域为{x|－}．≤x≤，或≤x≤－ 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． [跟踪训练] 2．求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y＝ . ；(2)y＝＋ 解析：(1)要使函数有意义，则有⇒ 故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须满足解得 故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)． 题型三　求函数的值域 [例3]　求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；