5.2 第二课时 分段函数（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

第二课时　分段函数 学　习　目　标 知　识　网　络 1．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学抽象) 2．给出分段函数，能研究有关性质．(逻辑推理) [问题导学] 1．已知D(x)＝D(x)是x的函数吗？ 2．已知f(x)＝f(x)是两个函数吗？ [知识梳理] 知识点　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 微思考 分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 题型一　分段函数求值 [例1]　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(1)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值． [解析]　(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－. ＋5＝＝3×＝f＝f∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f (2)当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－∈(－2，2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2. 1．求分段函数的函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． [变式训练] 1．例1的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解析：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x<2}． 2．把例1条件变为f(x)＝求f(－5)的值． 解析：f(－5)＝f(f(－3))＝f(f(－1))＝f(f(1))＝f(0)＝－1. 题型二　分段函数的图象及应用 [例2]　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域． [解析]　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]． 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． [跟踪训练] 1．已知函数f(x)＝2|x－1|－3|x|，x∈R. (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解析：(1)当x≥1时，f(x)＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，f(x)＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，f(x)＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故f(x)＝ (2)根据函数解析式作出函数图象，如图所示． (3)由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]． 题型三　分段函数的实际应用 [例3]　某市出租车的计价标准是：4 km以内10元，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/km，超过18 km的部分1.8元/km. (1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式； (2)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？ [解析]　(1)由题意知，当0＜x≤4时，y＝10； 当4＜x≤18时，y＝10＋1.2(x－4)＝1.2x＋5.2； 当x＞18时，y＝10＋1.2×14＋1.8(x－18)＝1.8x－5.6. 所求函数关系式为y＝ (2)当x＝20时，y＝1.8×20－5.6＝30.4. 所以乘车行驶了20 km要付30.4元的车费． 求分段