5.3 第二课时 函数单调性的应用（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

第二课时　函数单调性的应用 学　习　目　标 知　识　网　络 1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(数学抽象) 2．会利用函数的单调性求简单函数的最值．(数学运算) 3．通过对含参数函数单调性的研究，进一步理解函数单调性的定义．(数学抽象) [问题导学] 1．函数的最值与函数的值域有什么关系？ 2．函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗？ 3．如何求函数的最值？ [知识梳理] 知识点　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，满足：∀x∈A，都有 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0) 结论 f(x0)是函数y＝f(x)的最大值 f(x0)是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 微思考 1．若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？ 提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)． 题型一　函数单调性的应用 [例1]　(1)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．a≤－3　　　　　　 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 (2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为__________. [解析]　(1)由函数的开口向上，结合图象(图略)可知在(－∞，4]上是减函数，满足对称轴x＝1－a≥4， 由此可得a≤－3. (2)由题知. ，即所求a的取值范围是解得0<a< [答案]　(1)A　(2) 由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正、负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． [变式训练] 1．在例1(1)中若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调减区间是(－∞，4]，求实数的a值． 解析：因为函数f(x)的单调减区间是(－∞，4]，所以1－a＝4，解得a＝－3. 2．在例1(1)中若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[－3，4]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 解析：因为函数f(x)在区间[－3,4]上不是单调函数，所以－3<1－a<4， 解得－3<a<4. 即实数a的取值范围是(－3,4)． 题型二　利用图象求函数的最值 [例2]　求函数f(x)＝的最值． [解析]　函数f(x)的图象如图： 由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值． 图象法求最值的步骤 [跟踪训练] 1．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域． 解析：y＝－|x－1|＋2＝的图象如图所示． 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]． 题型三　利用单调性求函数的最值 [例3]　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． [解析]　(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝ ＝－ ＝ ＝. ∵x1，x2∈[3,5]且x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝.；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝ 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 注意：①求最值勿忘求定义域． ②闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现错误，求解时一定要注意． [跟踪训练] 2．求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值． 解析：设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ ＝x1－x2＋－x2－ ＝(x1－x2)·. ＝＝(x1－x2) ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函