5.3 第一课时 函数单调性的判定（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

5．3　函数的单调性 第一课时　函数单调性的判定 学　习　目　标 知　识　网　络 1．了解函数的单调区间、单调性等概念．(数学抽象) 2．会划分函数的单调区间，判断单调性．(逻辑推理) 3．会用定义证明函数的单调性．(数学运算) [问题导学] 1．什么是增函数？什么是减函数？ 2．增函数的图象有什么特征？减函数的图象有什么特征？ 3．如何判断函数的单调性？ [知识梳理] 知识点　函数的单调性 1．增函数与减函数 2．函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 微思考 1．∀x1，x2∈I，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则y＝f(x)在某个区间I上是增函数吗？ 提示：若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时， f(x2)>f(x1)，所以f(x)在I上为增函数． 2．函数y＝在定义域上是减函数吗？ 提示：不是．y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝ 题型一　判断或证明函数的单调性 [例1]　求证：函数f(x)＝x－在区间(1，＋∞)上是单调递增函数． [证明]　设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝. ＝(x1－x2)＝(x1－x2)－－ ∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴0＜＞0. ＜1，∴1＋ 又x1＜x2，∴x1－x2＜0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)＝x－在区间(1，＋∞)上是单调递增函数． 利用定义证明函数单调性的步骤 [跟踪训练] 1．利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝. ＝－ 因为－1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)， 所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 题型二　求函数的单调区间 [例2]　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. [解析]　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． (2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 1．函数单调区间的两种求法 (1)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”隔开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间I上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． [跟踪训练] 2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　) A．(－∞，1)　　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析：易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)． 答案：B 3．函数f(x)＝|2x－1|的递减区间是__________. 解析：函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示： ∴递减区间为. 答案： 函数y＝x＋(a≠0)的单调性　　　　　　　　　►数学抽象、数学运算 1．当a>0时，对勾函数y＝x＋)． ，0)，(0，，＋∞)，减区间是(－)，(的增区间是(－∞，－ 2．当a<0时，双撇函数y＝x＋的增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)． [典例]　讨论f(x)＝x＋(a≠0)在(0，＋∞)上的单调性． [解析]　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝＝(x2－x1)＋－ ＝(x2－x1)＋. ＝ ∵x1，x2∈(0，＋∞)，∴x1x2>0.∵x1<x2，∴x2－x1>0. ①若a<0，则x1x2－a>0，∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)， ∴f