5.4 函数的奇偶性(1)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

5．4　函数的奇偶性(1) 学　习　目　标 知　识　网　络 1．理解函数的奇偶性及其几何意义．(数学抽象) 2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．(直观想象) 3．学会判断函数的奇偶性．(逻辑推理) [问题导学] 1．学过的哪些函数的图象关于轴对称或中心对称？ 2．什么是奇函数、偶函数？ 3．奇、偶函数的图象有什么特征？ [知识梳理] 知识点　函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A 如果对任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数 如果对任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数 图象特点 图象关于原点对称 图象关于y轴对称 奇偶性 如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性 微思考 1．如果函数的f(x)定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，那么函数f(x)是偶函数吗？ 提示：不一定．必须对定义域内的任意一个x都有f(－x)＝f(x)成立，函数f(x)才是偶函数． 微思考 2．如果奇函数在x＝0处有定义，则其图象有什么特征？ 提示：其图象过原点，即f(0)＝0. 题型一　函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝ [解析]　(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， 所以f(x)是非奇非偶函数． (2)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． [跟踪训练] 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (2)f(x)＝ 解析：(1)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为R. 因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)， 所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． (2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ －＝f(x)； ＝ 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝f(x)． ＝－ 综上可知，函数f(x)＝是偶函数． 题型二　奇偶函数的图象及应用 [例2]　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． [解析]　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)． 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)或(－∞，0]上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]或[0，＋∞)上对应的函数图象． [跟踪训练] 2．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小． 解析：(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2. (2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)． 题型三　利用奇偶性求函数值 [例3]　(1)若函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，则f(0)＋f(－1)＝(　　) A．－4　　　　　　　　 B．－3 C．－2 D．－1 (2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3－2x2，则f(2)＋g(2)＝(　　) A．8 B．－8 C．16 D．－16 [解析]　(1)因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0， 又当x>0时，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－