5.4 函数的奇偶性(2)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

5．4　函数的奇偶性(2) 学　习　目　标 知　识　网　络 1．进一步理解函数的奇偶性，利用奇偶性解决问题．(数学抽象) 2．综合运用函数的单调性和奇偶性解决问题．(数学抽象、数学运算) [问题导学] 1．奇函数和偶函数各是怎样定义的？它们的图象各有什么特点？ 2．如何判断函数f(x)的奇偶性？ [知识梳理] 知识点　函数奇偶性的拓展 1．函数的奇偶性与单调性的性质 (1)若f(x)为奇函数且在[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上的单调性相同. (2)若f(x)为偶函数且在[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2．奇、偶函数的运算性质(在公共定义域内) (1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． (2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数． (3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． 3．函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)图象的对称轴． (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)图象的对称中心． 微练习 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝__________. 解析：f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0. ∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴f(x)＝f(1－x)， ∴f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(4)＝f(－3)＝－f(3)＝0，f(5)＝f(－4)＝－f(4)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 答案：0 题型一　利用奇偶性求函数的解析式 [例1]　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． [解析]　(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又f(0)＝0， 故f(x)＝ (2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝， (①－②)÷2，得g(x)＝. 利用函数奇偶性求解析式的方法 (1) “求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出f(－x)或－f(x)，从而解出f(x)． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. [跟踪训练] 1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝__________. 解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)． 因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)． 答案：x(x＋1) 题型二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小 [例2]　若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) [解析]　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<f(－1)． <－1.∴f(2)＝f(－2)<f [答案]　B 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． [跟踪训练] 2．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是__________. 解析：因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又