6.1 幂函数（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

6．1 幂函数 学　习　目　标 知　识　网　络 1.了解幂函数的概念．(数学抽象) 2．掌握y＝xα的图象与性质．(直观想象) 3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．(直观想象) [问题导学] 1．y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？ 2．什么是幂函数？ 3．幂函数的图象有什么特点？ [知识梳理] 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数． 微思考 1．如何判断一个函数是幂函数？ 提示：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞) 上减，在(－∞，0) 上减 微思考 2．通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． 知识点三　一般幂函数的图象特征 一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称； (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 微练习 下命题正确的是(　　) ①幂函数的图象都经过 ②幂函数的图象不可能出现在第四象限 ③当n＝0时，函数y＝xn的图象是两条射线(不含端点) ④f(x)＝x－3是奇函数，且f(x)＝x－3在定义域内为减函数 A．①②　　　　　　　　 B．②④ C．②③ D．①③ 解析：①幂函数y＝x－1不经过原点，所以①不正确； ②形如y＝xα，α∈R的函数是幂函数，当x>0时，y>0，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确； ③y＝x0的定义域是，y＝1，所以n＝0时， y＝xn的图象是两条射线(不含端点)，所以③正确； ④f(x)＝x－3是奇函数，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数在(－∞，0)是减函数，在(0，＋∞)也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确． 答案：C 题型一　幂函数的概念 [例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝__________. [解析]　(1)幂函数有①⑥两个． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. [答案]　(1)B　(2)－1或5 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1 ；(2)底数为自变量x；(3)指数为常数． [跟踪训练] 1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝2，则f(16)＝__________. 解析：设f(x)＝xα，∵f(4)＝2，∴4α＝2，解得α＝＝4. ，则f(16)＝16，f(x)＝x 答案：4 题型二　幂函数的图象及应用 [例2]　(1)如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0,0<m<1　　 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 (2)点(分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)? ，3)与点 [解析]　(1)由题图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，∴m>0，n<0， 又当x>1时，y＝xm的图象在y＝x的下方，y＝xn 的图象在y＝x－1的下方，∴m<1，n<－1， 从而0<m<1，n<－1. (2)设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因为(，所以α＝2，β＝－1， )α＝3，(－2)β＝－ 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.