6.2 指数函数(1)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

6．2　指数函数(1) 学　习　目　标 知　识　网　络 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性．(数学抽象) 2．掌握指数函数图象的性质．(数学抽象) 3．会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．(数学运算) [问题导学] 1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？ [知识梳理] 知识点一　指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 微思考 1．指数函数的解析式有什么特征？ 提示：指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1. 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 微思考 2．在直角坐标系中，指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限． 题型一　求指数函数的解析式 [例1]　已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式． [解析]　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π. 1.根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数． 2．要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可． [跟踪训练] 1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝__________. 解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， 可得∴a＝2. 解得 答案：2 题型二　指数函数的定义域和值域 [例2]　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2 . －|x|；(3)y＝；(2)y＝ [解析]　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵的值域为{y|y＞0，且y≠1}． ≠1，∴y＝2≠0，∴2 (2)定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝0＝1, |x|≥－|x|＝ ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－0， x≤1＝x≥0，∴ ∴x≥0, ∴定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∵x≥0，∴ x≤1. 又∵ x＜1， x≤1.∴0≤1－ x＞0，∴0＜ ∴0≤y＜1， ∴此函数的值域为[0,1)． 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x); ②求t＝f(x)的定义域{x|x∈D}； ③求t＝f(x)的值域{t|t∈M}；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． [跟踪训练] 2．函数f(x)＝的定义域是__________. ＋ 解析：依题意有解得x∈[2,4)∪(4，＋∞)． 答案：[2,4)∪(4，＋∞) 题型三　指数式的大小比较 [例3]　比较下列各题中两个值的大小： (1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1. [解析]　(1)∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3. (2)法一：∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 法二：∵1.50.3＞0，且0.3， ＝ 又0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3. ＞1,0.3＞0，∴ (3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1. 比较指数式大小的3种类型及处理方法 [跟踪训练] 3．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1,1.250.2；(2)a0.5与a0.6(a>0且a≠1)． 解析：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，而0.8－0.2＝－0.2＝1.