6.2 指数函数(2)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

6．2　指数函数(2) 学　习　目　标 知　识　网　络 1.掌握指数函数有关的图象及其图象变换问题．(直观想象) 2．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(逻辑推理) 3．会解简单的指数方程、不等式．(数学运算) 4．理解指数函数的实际应用．(数学建模) [问题导学] 1．指数函数y＝ax与y＝x的图象有怎样的对称关系？ 2．当a>0时，随着底数a的增大，指数函数y＝ax的图象有怎样的变化趋势？ 3．判断由两个函数构成的复合函数的单调性时，应该遵循什么原则？ [知识梳理] 知识点一　指数函数图象的特征 同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示． 直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0<b<a<1<d<c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”． 微练习 1．函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　) 解析：函数y＝x＋a单调递增．由题意知a>0且a≠1. 当0<a<1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1； 当a>1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1. 答案：D 知识点二　指数函数图象的变换 (1)平移规律：设b>0， ①y＝ax的图象上移b个单位长度,y＝ax＋b的图象； ②y＝ax的图象下移b个单位长度,y＝ax－b的图象； ③y＝ax的图象左移b个单位长度,y＝ax＋b的图象； ④y＝ax的图象右移b个单位长度,y＝ax－b的图象． (2)对称规律 y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称 与y＝－ax的图象关于x轴对称 与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称 微练习 2．函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析：当a>1时，函数y＝ax－a(a>0，a≠1)可以看作函数y＝ax的图象向下平移a个单位长度，由于a>1，则A错误； 又x＝1时，y＝a－a＝0，则函数y＝ax－a(a>0，a≠1)过点(1,0)，故B错误； 当0<a<1时，函数y＝ax－a(a>0，a≠1)可以看作函数y＝ax的图象向下平移a个单位长度，由于0<a<1，则D错误；又x＝1时，y＝a－a＝0，则函数y＝ax－a(a>0，a≠1)过点(1,0)，故C正确． 答案：C 题型一　指数型函数图象 [例1]　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0　　　　　 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)函数y＝2|x|－1的图象大致为(　　) [解析]　(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0. (2)由题知函数的定义域为R，当x∈(0，＋∞)时，y＝2x－1为增函数，故排除B、D选项， 当x＝0时，y＝20－1＝0，过坐标原点，排除A. [答案]　(1)D　(2)C 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势. [跟踪训练] 1．(1)函数f(x)＝的大致图象为(　　) (2)(多选题)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析：(1)要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}． 由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 再考虑单调性：f(x)＝，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A. ＝1＋＝ (2)当a>1时，在R上单调递减，故D符合． >1，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0<a<1时，<1，且y＝ax－∈(0,1)，因此x＝0时，0<y＝1－ 答案：(1)A　(2)CD 题型二　求指数型复合函数的单调区间 [例2]　(1)求函数y＝的单调区间； (2)求函数y＝x＋17的单调区间． 2x－8· [解析]　(1)函数y＝的定义域为R. 在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数， ∴y＝在(－∞，3]上是增函数． 在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数， ∴y＝在[3，＋∞)上是减函数． ∴