6.3 对数函数(1)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

6.3　对数函数(1) 学　习　目　标 知　识　网　络 1.理解对数函数的概念．(数学抽象) 2．掌握对数函数的性质．(数学抽象) 3．对数函数图象性质的简单应用．(直观想象) [问题导学] 1．已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 2．什么是对数函数？ 3．对数函数的性质有哪些方面？ 4．对数函数的图象及性质与底数a有什么关系？ [知识梳理] 知识点一　对数函数的概念 一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 微思考 1．对数函数的解析式有何特征？ 提示：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数． 知识点二　对数函数的图象与性质 1．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换． 微思考 2．底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”．当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝x(a>0且a≠1)有什么关系？ 提示：在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝x(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． 题型一　对数函数的定义域 [例1]　求下列函数的定义域． (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x)． [解析]　(1)由得－3<x<3，∴函数的定义域是{x|－3<x<3}． (2)由16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性，得x<2，∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}． 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变． [跟踪训练] 1．求下列函数的定义域． (1)y＝；(2)y＝log(x＋1)(16－4x)． 解析：(1)要使函数有意义，需即－3<x<－2或x≥2， 即 故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需所以－1<x<2，且x≠0， 即 故所求函数的定义域为{x|－1<x<2，且x≠0}． 题型二　比较大小 [例2]　比较下列各组数中两个值的大小． (1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)． [解析]　(1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，所以它在(0，＋∞)上是增函数．又3.4＜8.5，于是log23.4<log28.5. (2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，所以它在(0，＋∞)上是减函数． 又1.8＜2.7，于是 log0.31.8>log0.32.7. (3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数． 又5.1＜5.9，于是loga5.1<loga5.9；当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数． 又5.1＜5.9，于是loga5.1>loga5.9. 综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9, 当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9. 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小． [跟踪训练] 2．设a＝log3π，b＝log2，则(　　) ，c＝log3 A．a＞b＞c　　　　　　 B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 解析：∵a＝log3π＞1，b＝，∴a＞b＞c. log32