6.3 对数函数(2)（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

6．3　对数函数(2) 学　习　目　标 知　识　网　络 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法．(数学抽象) 2．掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法．(逻辑推理) 3．会解简单的对数不等式．(数学运算) [问题导学] 1．对数函数的图象有哪些变化？ 2．判断由两个函数构成的复合函数的单调性时，应遵循什么原则？ [知识梳理] 知识点　对数型函数的性质及应用 1．y＝logaf(x)型函数性质的研究 (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据复合函数单调性法则判定(或运用单调性定义判定)． (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． (5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． 2．logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性． (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 微练习 函数y＝ln的单调递增区间是(　　) A.　　　　　　 B． C. D． 解析：令t＝x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1, t在上递增， 上递减，在 又y＝ln t在(0，＋∞)上递增， 所以y＝ln . 单调递增区间是 答案：D 题型一　对数型复合函数的单调性 [例1]　若函数f(x)＝log2上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 在区间 [解析]　∵y＝log2t在区间(0，＋∞)上单调递增， ∴要使函数f(x)＝log2上单调递增， 在区间 则函数t＝x2－ax＋6a在区间上单调递增且恒大于0. 即函数t＝x2－ax＋6a的对称轴小于等于2，且在区间上的最小值恒大于0， ∴⇒ 即－1<a≤4. ∴实数a的取值范围是(－1,4]． [答案]　(－1,4] 判断复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”． [跟踪训练] 1．已知a>0，a≠1，若函数f(x)＝loga是增函数，则a的取值范围是__________. 在 解析：当a>1时，y＝logax是单调增函数，要满足题意， 则有t＝ax2－x在≤3且9a－3>0， 是单调增函数，且其最小值大于零．故 解得a>； ，又a>1，故此时a∈ 当0<a<1时，y＝logax是单调减函数，要满足题意， 则有t＝ax2－x在是单调减函数，且其最小值大于零． 故≥4，且16a－4>0，不等式无解． 综上所述，a∈. 答案： 题型二　对数型复合函数的奇偶性 [例2]　判断函数f(x)＝ln 的奇偶性． [解析]　由>0可得－2<x<2，所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称． 法一：f(－x)＝ln是奇函数． ＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝ln －1＝－ln ＝ln 法二：f(x)＋f(－x)＝ln＝ln 1＝0，即f(－x)＝－f(x)， ＝ln＋ln 所以函数f(x)＝ln是奇函数． 1.指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)． 2．含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． [跟踪训练] 2．若已知f(x)＝ln 为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？ 解析：由>0得－b<x<a.∵f(x)为奇函数， ∴－(－b)＝a，即a＝b. 当a＝b时，f(x)＝ln＝ln 1＝0， ＝ln＋ln，f(－x)＋f(x)＝ln ∴有f(－x)＝－f(x)，∴此时f(x)为奇函数． 故f(x)为奇函数时，a＝b. 题型三　简单的对数型不等式的解法 [例3]　已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式loga(1－ax)＞f(1)． [解析]　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)， ∴1－a＞0，∴0＜a＜1， ∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)． ∴∴0＜x＜1. 即 ∴不等式的解集为(0,1)． 对数不等式的解法要点 (1)化为同底． (2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向． (3)加上使对数式有意义的约束条件：f(x)＞0且g(x)＞0. [跟踪训练] 3．已知函数f(x)＝ (x＋2)＋ (x－2). (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性； (2)求解关于x的不等式f(x)≥ (3x)．