精讲03 函数的概念和性质-【学业水平备考系列】2021-2022学年高中学业水平考试精讲+精测(山东专版)

精讲03 函数的概念和性质 [知识必备] 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 5.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 6.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 7.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 8.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. [题型精讲] 题型一　函数的定义域 例1　（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据抽象函数定义域的求解方法可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】 定义域为 ，解得： 的定义域为 故选： 例2　 （2021·山东省淄博学业水平模拟）函数的定义域为（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】 根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域. 【详解】 由函数解析式有意义可得 且 所以函数的定义域是且， 故选：A. 例3　（2021·山东·沂水县第一中学高一期中）已知函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 要使函数有意义，则有，解出即可. 【详解】 要使函数有意义，则有 解得 所以函数的定义域为 故选：A [题型精练] 1．（2021·山东潍坊·高一期中）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据函数有意义的条件求解即可得答案. 【详解】 解：要使函数有意义，则需满足，解得且. 故函数的定义域是. 故选：B. 2．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知函数的定义域为，则的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意可得：，解不等式组即可求函数的定义域. 【详解】 由题意可得： ，解得：且， 故的定义域是， 故选：D 3．（2021·山东·枣庄市第三中学高一月考）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意可得 ，解不等式组即可求解. 【详解】 由题意得，即， 解得即或 所以函数的定义域为. 故选：C 题型二　函数求解析式、求值 例4　（2021·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式. （1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； （2）f(x