精讲01 集合与简易逻辑-【学业水平备考系列】2021-2022学年高中学业水平考试精讲+精测(山东专版)

精讲01 集合与简易逻辑 [知识必备] 1．集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 2．集合间的基本关系 　　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或 BA 相等 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 A⊆B且B⊆A ⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 3．集合的三种基本运算 文字语言 图形表示 符号语言 集合的并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合基本运算的常见性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅； ∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 5．充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A⊉B 6.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 7．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M， p(x) ∃x0∈M，p(x0) 特称 命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M， p(x0) ∀x∈M，p(x) [题型精讲] 题型一　集合的概念 例1　（多选）（2021·山东·高一期中）下列每组对象，能构成集合的是（ ） A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生 【答案】BD 【分析】 根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可 【详解】 解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合； 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合； 对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合； 对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合， 故选：BD 例2　 （2021·山东省淄博学业水平模拟）集合，用列举法可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据且确定出所有的可取值，然后用列举法表示集合即可. 【详解】 因为且，所以的可取值有：， 所以列举法表示集合为：， 故选：B. 例3　（2021·山东·沂水县第一中学高一期中）设集合，集合且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对集合中的三个元素逐个分析可得. 【详解】 当时,; 当时,; 当时,, 所以. 故选:C. 【点睛】 本题考查了元素与集合的关系,属于基础题. [题型精练] 1. （2021·山东省淄博实验中学高一月考）方程x2＝x的所有实数根组成的集合为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，由此能求出方程x2＝x的所有实数根组成的集合 【详解】 解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1， 方程x2＝x的所有实数根组成的集合为． 故选：C． 【点睛】 本题考查集合的表示方法，属于基础题. 2. （多选）（2021·山东·曲阜一中高一月考）下列关系中，正确的有（ ） A． B