专题15 线段数量关系问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题15 线段数量关系问题 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点． （1）如图1，当，，且时， ①求点M的坐标： ②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）见解析 【分析】 （1）①直接将点代入解析式，又有， 即可解出坐标；②相等，先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可； （2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线． 【详解】 解：（1）如答案图6. ①点在抛物线上，且， ，解得，（舍去） ， ，． ②， 点在该抛物线上， ，． 设直线MB交x轴于点H，解析式为， 解得 当时，， ，． 过点M作轴，垂足为R， ，， ， 根据勾股定理得， ， ．， ，，， ，． （2）如答案图7. 证明：对称轴，， ，， ．过点M作轴，垂足为Q， ，， ． 当时，解得，， ． ，， ， ．， ． 设直线EM的解析式为， 解得 ．设直线EM交y轴于点S，过点S作，垂足为P ． 当时，． ．当时，， ， ，． ， ， ． ，， ， ，． 设，则． 在中， ， ． （负值舍去）， ，， ． ，， 射线FE平分． 【点睛】 本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力． 2．（2021·湖北武汉·中考模拟预测）已知：抛物线y＝a（x＋m）（x－3m）（a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l：y＝kx＋b经过点B，且与该抛物线有唯一公共点，平移直线l交抛物线于M、N两点（点M、N分别位于x轴下方和上方） （1）若 ①直接写出点A，点B的坐标和抛物线的解析式； ②如图1，连接AM、AN，取MN的中点P，连接PB，求证：PB⊥AB； （2）如图2，连接MC．若MC∥x轴，求的值． 【答案】（1）①A(3，0)，B(－1，0)，；②见解析；（2） 【分析】 （1）①分别将a=、代入求得m，再令y=0，确定A、B的坐标，然后运用待定系数法求出函数解析式即可； ②联立，由直线l与该抛物线有唯一公共点，则△=0，可得，即，设MN的解析式为，则，即，由根与系数的关系可得，即可证明； （2）先求出抛物线的对称轴、A、B的坐标，可得，即，由直线与抛物线有唯一的公共点可得，则，设MN的直线解析式为y＝－4amx＋t 则，可得，过N作NGLx轴于G，过N作NG⊥x轴于G，过M作MH⊥x轴交x轴于H，交AN于P，设AN的直线解析式为，将点A与N代入可得，解得，即AN的解析式为，则PH=HM，再证明△AHM≌△AHP（SAS），进一步证得△AGN∽△AHM，则； 【详解】 解：（1）由题意得：，解得m=1 ∴y＝（x＋1）（x－3） 令y=0，解得x=-1或x=3 ∴A（3，0），B（－1，0），抛物线的解析式； ②证明：设l：y＝k（x＋1）＝kx＋k（k＜0） 即 ∴△=，解得 又∵MN∥l， ∴设MN： 即 ； （2）解： 对称轴： ∵MC∥x轴 当y＝0时，，即 ，得，即， 由于直线与抛物线有唯一公共点B， 所以△=，且，解得 ∴ 又∵MN∥l， ∴设MN：y＝－4amx＋t ，即 ∴， 过N作NG⊥x轴于G，过M作MH⊥x轴交x轴于H，交AN于P 设AN：， ∴， ∴ 当x＝2m时， 当x＝0时，， ∴PH＝HM 在△AHM和△AHP中 ∴△AHM≌△AHP（SAS）， ∴∠HAP＝∠HAM 又∵∠AGN＝∠AHM＝90°， ∴△AGN∽△AHM ∴． 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的基本性质、直线与二次函数求交点问题、根与系数的关系等知识点，灵活运用根与系数的关系、将交点坐标与方程相结合是解答本题的关键． 3．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）连结，交抛物线L的对称轴于点M． ①求点