专题16 极值点偏移问题的研究-2022年高考数学微专题复习（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题16 极值点偏移问题的研究 题型一、常见的极值点偏移问题 常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型：1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 例1、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数在处的切线斜率为． （1）确定的值，并讨论函数的单调性； （2）设，若有两个不同零点，，且．证明：． 变式1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数． (1)当时，设函数的最小值为，证明：； (2)若函数有两个极值点，证明：． 变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立. （1）求的取值范围； （2）设函数的零点为，函数的极小值点为，求证：. 题型二、构造函数的极值点偏移问题 （1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 例2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 变式1、（2021·湖南长沙市高三模拟）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且． 变式2、（2021·山东高三其他模拟）已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数满足对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，证明：对一切，. 1、（2021·山东滨州市·高三二模）已知函数. （1）求的极值； （2）当时，若，且，求证：. 2、（2021·山东高三二模）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，，求证：. 3、（2021·山东泰安市·高三一模）已知函数. （1）讨论函数的极值点的个数； （2）已知函数有两个不同的零点，且.证明：. 4、已知函数. (1)求的单调区间； (2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $专题16 极值点偏移问题的研究 题型一、常见的极值点偏移问题 常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型：1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 例1、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数在处的切线斜率为． （1）确定的值，并讨论函数的单调性； （2）设，若有两个不同零点，，且．证明：． 【解析】 （1）的定义域为且， ∴，解得，则， 令，， ①当，即时，，，在上单调递增； ②当，即或， 当时，由有，，即，在上单调递增； 当时，，， ，，单调递增， ，，单调递减． ，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，， ∵有两个不同零点，，即，． ∴，即有． 令，，则． 令，则， ∴在上单调递增，又， ∴，即，在上单调递减． ∴，于是， ∴，又，故得证． 变式1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数． (1)当时，设函数的最小值为，证明：； (2)若函数有两个极值点，证明：． 【解析】（1），令，解得， 当时，，当时，， ，， 令，则， 令，解得， 当时，，当时，， ，， 当时，； （2），， 令，则， 令，解得， 当时，，当时，， ， 又函数有两个极值点，则， ，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，， 又，， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递增，， ，，即， ． 变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立. （1）求的取值范围； （2）设函数的零点为，函数的极小值点为，求证：. 【解析】（1）由题设知，， ，， 由，得，所以函数在区间上是增函数； 由，得，所以函数在区间上是减函数. 故在处取得最小值，且. 由于恒成立，所以，得， 所以的取值范围为； （2）设，则. 设， 则， 故函数在区间上单调递增，由（1）知，， 所以，， 故存在，使得， 所以，当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点.因此，即. 由（1）可知，当时，，即，整理得， 所以. 因此，即. 所以函数在区间上单调递增. 由于，即， 即， 所以. 又函数在区间上单调递增，所以. 题型二、构造函数的极值点偏移问题 （1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 例2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 【解析】（1）的定义域为，. （i）