专题14 线段定值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题14 线段定值问题 1．（2021·福建龙岩·中考二模）抛物线经过点，，直线过点，，点是抛物线上点，间的动点（不含端点，），过作轴于点，连接，． （1）求抛物线与直线的解析式： （2）求证：为定值； （3）若的面积为1，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）满足条件的点有，． 【分析】 （1）将A（4，0），B（0，-4）的坐标代入y=ax2+b，利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E（4，-1），C（0，-3）的坐标代入y=mx+n可得问题的答案； （2）设点，，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，从而得PF、PD、PC、FC的长度，从而得到答案； （3）方法一：设与的交点为，设，①当点G在点P上方时，根据三角形面积公式可得答案；②当点G在点P下方时，根据三角形面积公式可得答案． 方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，，交于点，根据勾股定理及面积法即可求出，易证即可求出；得出过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条： 或，再分别与抛物线联立求解即可． 【详解】 解：（1）将，的坐标代入 得， ∴抛物线的解析式为 设直线为，将点，的坐标代入得 ， ∴直线的解析式是； （2）证明：设点，，如图， 过点作轴于点， 则，， ， ， 所以为定值； （3）解：方法一：设与的交点为，设 ①如图，当点在点上方时， ， ∵， ∴， 解得，，（负根舍去）， ∴，即， ②如图，当点在点下方时， ， ∵， ∴， 解得：，（负根舍去） ∴，即， 综上所述，满足条件的点有，． 方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，，交于点， 在中，， ∴ ∵ ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条： 或， 依题意得解得：（负根舍去） ∴，， ∴ 解得，（负根舍去） ∴，， ∴， 综上所述，满足条件的点有，． 【点睛】 此题考查了二次函数综合，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、相似三角形的判定与性质是解决此题关键． 2．（2020·湖南·长沙市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+a+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D．点P为x轴上的一个动点． （1）求点D的坐标； （2）如图1，当点P在线段AB上运动时，过点P作x轴的垂线，分别交直线AD、BD于点E、F，试判断PE+PF是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． （3）如图2，若点P位于点A的左侧，满足∠ADP=2∠APD且AP=AB时，求抛物线的解析式． 【答案】（1）点D（﹣1，2）；（2）是，4；（3）y=﹣x2﹣x+ 【分析】 （1）利用配方法可求顶点D坐标； （2）过点D作DH⊥AB于H，由三角函数可得EP=AP•tan∠EAP，PF=BP•tan∠FBP，由等比的性质可得，即可求解； （3）作AP的垂直平分线，交AP于Q，交PD于M，过点D作DH⊥AB，通过证明△PMQ∽△PDH，可得，可求MQ=﹣1，由勾股定理可求点A坐标，代入解析式可求a的值，即可求解． 【详解】 （1）∵y=ax2+2ax+a+2=a(x+1)2+2， ∴点D（﹣1，2）； （2）是定值，理由如下： 如图1，过点D作DH⊥AB于H， ∴AH=BH=AB，DH=2， ∴∠DAB=∠DBA， ∵tan∠EAP=，tan∠FBP=， ∴EP=AP•tan∠EAP，PF=BP•tan∠FBP， ∵∠EAP=∠FBP， ∴tan∠DBH=tan∠EAP=tan∠FBP=， ∴， ∴， ∴PF+PF=4； （3）如图2，作AP的垂直平分线，交AP于Q，交PD于M，过点D作DH⊥AB， ∴PM=MA，PQ=AQ， ∴∠MPA=∠MAP， ∴∠DMA=∠MPQ+∠MAP=2∠MPA， ∵∠ADP=2∠APD， ∴∠ADP=∠AMD， ∴AM=AD=PM， ∵∠DPH=∠MPQ，∠DHP=∠MQP=90°， ∴△PMQ∽△PDH， ∴， ∵AP=AB，AH=BH，PQ=QA， ∴PQ=QA=AH， ∴PH=（）AH， ∴， ∴MQ=， ∵MQ2+AQ2=AM2=AD2=AH2+DH2， ∴（）2+（AH）2=AH2+4， ∴AH=2， ∴点A（﹣3，0）， ∵抛物线y=ax2+2ax+a+2过点A， ∴0=9a﹣6a+a+2， ∴a=﹣， ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AH的长是本题的关键． 3．（2020·湖北·武汉中考三模）如图1，抛物线y＝ax2过定点M（，），与直线AB：y＝kx+1相交于A、B两点． （1）若k＝﹣，求△ABO的面积． （2）若k＝