四川省资阳中学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题

资阳中学高2020级第三期期中测试数学试题（理科） 一、单选题(每个5分，共60分) 1．(本题5分)已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．(本题5分)已知焦点在轴的椭圆的标准方程为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 3.(本题5分)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 4．(本题5分)已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴的长为（ ）. A． B． C． D． 5．(本题5分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．(本题5分)一束光线从点出发，经轴反射到圆：上的最短路径的长度是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．(本题5分)设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．(本题5分)如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 9．(本题5分)正方体中，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，则（ ） A． B． C． D． 10．(本题5分)过点的直线将圆形区域分成两部分，使得两部分的面积相差最大，则该直线的方程是（ ） 　 A． B． C． D． 11．(本题5分)在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点．现有以下命题：①三棱锥的体积是定值；②的周长的最小值为；③直线与平面所成的角是定值；④异面直线与所成的角是定值．其中真命题是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 12．(本题5分) 已知椭圆的离心率为，动是其内接三角形，且．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题(每个5分，共20分) 13．(本题5分)已知圆锥的高为1，体积为，则该圆锥表面积为　　　　　　． 14．(本题5分)已知椭圆的左､右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆于P，若则该椭圆的离心率是____ 15．(本题5分)已知四棱锥的顶点都在球上，底面是矩形，平面平面，为正三角形，,则球的表面积为________. 16．(本题5分)已知椭圆离心率，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点（A在第一象限），过A做x轴垂线交椭圆于点C，过A做直线AP垂直AB交椭圆于点P，连接BP交AC于点Q，则____ 三、解答题(6个小题，共70分) 17．(本题10分) 分别求解以下两个小题： （1）设椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的标准方程； （2）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程． 18．(本题12分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝4，CD＝2CE＝2． （1）证明：平面PAD⊥平面PDE； （2）若△PAB的面积为2，求三棱锥P﹣ADE的体积． 19．(本题12分)在①，；②，；③，中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知，的中点坐标是，且______. （1）求直线的方程； （2）直线 l经过点P（0,3），且与以线段为直径的圆交于M、N两点，若,求直线l的方程. 20．(本题12分)如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点。 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值。 21.(本题12分) 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,DC=AD=1,AB=2,∠PAD=45°,E是PA的中点,F在线段AB上,且满足=0. (1)求证:DE∥平面PBC. (2)求二面角F-PC-B的余弦值. (3)在线段PA上是否存在点Q,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是? 若存在,求出AQ的长;若不存在,请说明理由. 22．(本题12分)已知椭圆的左、右焦点分别为，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点.点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程. 参考答案 1．A 【详解】因为点，所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为，故选：A. 2【答案】B【分析】由椭圆方程焦点在轴列出不等关系求解即可. 【详解】解：因为椭圆方程焦点在轴，所以有，所以. 故选：B. 3.【答案】C【解析】解法一 如图