2.3.1 圆的标准方程-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，重点培养数学抽象核心素养． 2.能根据所给条件灵活运用圆的有关几何性质，求圆的标准方程，重点提升数学运算核心素养． 　圆的标准方程 1．确定一个圆的几何要素有几个？ 提示：有两个，圆心和半径． 2．若车轮的半径为r，以车轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，轮胎上任一点(x，y)的坐标满足什么关系？如何来表示． 提示：任一点(x，y)到原点的距离为半径r，可以用＝r来表示． 　圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2． 　点与圆的位置关系 　用数形结合的思想说明直线y＝k(x－3)与圆x2＋y2＝16的位置关系怎样？ 提示：相交．因为直线y＝k(x－3)恒过定点(3，0)，又点(3，0)在圆x2＋y2＝16的内部，故直线与圆是相交的． 设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则： 点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r； 点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔|PC|>r； 点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔|PC|<r. 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(x＋2)2－(y－3)2＝4是表示以(－2，3)为圆心，以2为半径的圆．(　　) (2)在平面直角坐标系中，只要确定了圆心和半径，那这个圆的标准方程就确定了．(　　) (3)与两坐标轴均相切的圆的标准方程可设为(x－R)2＋(y－R)2＝R2(其中R为圆的半径)．(　　) (4)函数y＝(r>0)的图像是以(0，0)为圆心，半径为r的位于x轴上方的半圆弧．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A．(－1，5)，　　　　　　　 B.(1，－5)， C．(－1，5)，3 D.(1，－5)，3 解析：由(x－1)2＋(y＋5)2＝3，得(x－1)2＋[y－(－5)]2＝(.)2，故圆心为(1，－5)，半径长为 答案：B 3．点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆外 B.在圆上 C．在圆内 D.与a的值有关 解析：因为，故点P(a，10)在圆外．>＝ 答案：A 4．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________． 解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.＝ 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5 求圆的标准方程(变通探究) 　(本节例1、例2拓展)(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1　　　　 B.x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 (2)已知圆过点A(1，－1)，B(－1，1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 【尝试解答】　(1)∵圆心在y轴上，设圆心(0，m)，依题意＝1解得m＝2. ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A. 【答案】　A (2)解法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二　设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a，2－a)． 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴， ＝ 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法三　由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)， 即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由即圆心为(1，1)， 得 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 【一题多变】 　若本例(2)中，条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”换为“圆心C在y轴上”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解：设圆心C(0，b)，则|AC|＝|BC|，解得b＝0.故圆的方程为x2＋y2＝2. 　若本例(2)中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”去掉，其他条件不变，试求周长最小的圆的方程． 解：经过A，B两点且周长最小即半径最小，故应是以AB为直径的圆．又AB