2.2.4 点到直线的距离-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．2.4　点到直线的距离 探索并掌握点到直线的距离公式、两条平行直线之间的距离公式，并能灵活应用此公式解决有关距离问题，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 　点到直线的距离 1．直线外一点和直线上的点的连线中哪条线段最短？ 提示：垂线段最短． 2．点A(1，2)到直线x＝5和y＝5的距离分别是多少？ 提示：4和3. 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d： (1)d＝； (2)ν＝(A，B)是直线l1的一个法向量，P1(x1，y1)是直线l上的任意一点，则P(x0，y0)到直线l的距离为 d＝． 　两条平行直线之间的距离 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1，0)，B(0，1)，C(－1，2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 提示：点A，B，C到直线l2的距离分别为.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．，， 两条平行线之间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d，则d＝(A，B不全为0，C1≠C2) 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　) (2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．点(－1，2)到直线2x－1＝0的距离为(　　) A.　　　　　　　　 B. C．1 D.3 解析：直线即为x＝， 所以所求的点到直线的距离d＝.＝ 答案：B 3．若点(4，3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________． 答案：±5 4．两平行直线3x－4y＋1＝0与ax－8y＋c＝0的距离为3，则a＝________，c＝________． 解析：由题意得， ＝ 所以a＝6. 直线3x－4y＋1＝0即为6x－8y＋2＝0. 由平行线间的距离公式得 ＝3. 所以|2－c|＝30. 即c＝－28或c＝32. 答案：6　－28或32 点到直线的距离公式的应用(变通探究) 　(本节例1拓展)求过点M(－2，1)，且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程． 【尝试解答】　解法一　设直线的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. 由， ＝ 解得k＝0，或k＝－. 故直线的方程为y＝1或x＋2y＝0. 当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线l. 解法二　当l∥AB或l过AB中点时，满足点A，B到l的距离相等． 若l∥AB，由于kAB＝－， 则直线l的方程为x＋2y＝0. 若l过AB的中点N(1，1)，则直线l的方程为y＝1. 故直线l的方程为y＝1或x＋2y＝0. 【一题多变】 　若本例变为求经过点M(－2，1)与原点距离为2的直线方程． 解：①当经过M点的直线斜率不存在时，原点到此直线x＝－2的距离为2，符合题意． ②当经过M点的直线斜率存在时，可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋1＋2k＝0. 依题意得.＝2，解得k＝ 综上可知，所求直线的方程为 x＝－2或＝0.x－y＋ eq \a\vs4\al() 1．应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 2．用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在时是否满足题意． 1．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则此△ABC的面积为________． 解析：如图，设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h. |AB|＝.＝2 AB边上的高h就是点C到AB的距离． AB边所在直线的方程为， ＝ 即x＋y－4＝0. 点C(－1，0)到x＋y－4＝0的距离 h＝ .＝ 因此，S△ABC＝＝5.××2 答案：5 两条平行线间的距离公式的应用(小组探究) 　(本节练习BT3改编)(一题多解)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程． 【尝试解答】　解法一　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0， 则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 ＝2，所以C＝32或C＝－20.，由题意，得＝ 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 解法二　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两条平行直线间的距离公式，得2＝，解得C＝32或C＝－20.故