2.2.3 两条直线的位置关系-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．2.3　两条直线的位置关系 1．能通过解方程组探求两条直线相交、平行与重合的条件，重点培养数学运算核心素养． 2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，并能熟练判定两条直线的位置关系，重点提升直观想象，逻辑推理核心素养． 　两条直线的相交、平行与重合 1．直线l1：2x＋3y－6＝0与直线l2：3x＋2y＋6＝0的位置关系是怎样的？ 提示：由得 所以直线l1与直线l2相交． 2．直线l1与直线l2的倾斜角分别是α1，α2，若l1∥l2，则α1与α2满足什么关系？ 提示：α1＝α2. 1．利用直线的斜截式方程判断直线的位置关系 若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． 2．利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，v1＝(A1，B1)，v2＝(A2，B2)分别是直线l1，l2的法向量． (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1； (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1； (3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2；重合的充要条件是C1＝C2． 　两条直线的垂直 　用你想到的方法判断直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋y＋3＝0是否垂直？ 提示：学习直线的方程后，可用直线的斜率、法向量等判断两条直线是否垂直．因为l1的法向量r1＝(1，－1)，l2的法向量为 r2＝(－1，－1)，又r1·r2＝0，所以l1⊥l2. 1．两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直． 2．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则：l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 3．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2.(　　) (2)若直线l1∥l2，则直线l1与l2的斜率相等．(　　) (3)若直线l1⊥直线l2，则它们的斜率之间一定有kl1·kl2＝－1成立． (4)若两条直线l1，l2的斜率不相等，则这两条直线不平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．直线2x＋3y＋1＝0和直线3x＋2y－4＝0的位置关系为(　　) A．平行　　　　　　 B.垂直 C．相交但不垂直 D.以上都不对 答案：C 3．经过(m，3)与(2，m)的直线l与斜率为－4的直线相互垂直，则m的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 4．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________． 答案：－1 两条直线的交点问题(小组探究) 　(本节例1、例2延伸)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 【尝试解答】　解法一　由方程组 得 ∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行， ∴直线l的斜率k＝－3. ∴根据点斜式有y－， ＝－3 即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. 解法二　∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点， ∴可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行， ∴.，得λ＝≠＝ 从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0. eq \a\vs4\al() 两条直线的交点坐标就是联立方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点坐标，再根据平行直线斜率相等，由点斜式求解；解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求出待定系数即可． 1．已知两点A(－2，1)，B(4，3)，求经过两直线2x－3y＋1＝0和3x＋2y－1＝0的交点和线段AB中点的直线l的方程． 解：由解得 ∴交点坐标为. 又线段AB中点坐标为(1，2)， ∴由两点式， ＝ 得l的方程为7x－4y＋1＝0. 两条直线位置关系的判定及应用(综合探究) 　(本节例3拓展)(一题多解)(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 【审题