2.2.2 直线的方程-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．2.2　直线的方程 1．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系，重点培养直观想象核心素养． 2．灵活运用恰当的方式求直线的方程，重点提升数学运算核心素养． 　直线的点斜式方程与斜截式方程 直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0，y0之间的关系． 提示：当x≠x0时，k＝. 1．直线的方程和方程的直线 一般地，如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线． 2．已知P0(x0，y0)是直线l上一点，直线l的方程 (1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：x＝x0． (2)如果直线l的斜率存在且为k，设P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为：y－y0＝k(x－x0)，①因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程． (3)如果已知P0(x0，y0)是直线l上的一点，而且l的斜率为k，则直线的一个方向向量为a＝(1，k)；设P(x，y)为直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是＝(x－x0，y－y0)，所以y－y0＝k(x－x0)．与a共线，因为 3．直线的斜截式方程 (1)截距：一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．一条直线在y轴上的截距简称为截距． (2)直线的斜截式方程：已知直线的斜率为k，截距为b，方程y＝kx＋b由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程． 　直线的两点式方程与截距式方程 　根据条件写出下列直线的方程： (1)经过两点P1(－1、6)、P2(2，9)； (2)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(其中x1≠x2，y1≠y2) 提示：(1)y－6＝1×(x＋1)； (2)y－y1＝(x－x1)． 1．直线的两点式方程 (1)直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，共线，即(x－x1)(y2－y1)＝(x2－x1)(y－y1)这就是直线l的方程．与＝(x－x1，y－y1)，P在直线l2上的充要条件是＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，设P(x，y)为平面直角坐标系中一点，则 (2)当x2－x1≠0且y2－y1≠0，直线l的方程为．这种形式的直线方程由直线l的两点确定，称为直线的两点式方程．＝ 2．直线的截距式方程 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且ab≠0，则得直线方程＝1．＋ 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)＝(x2－x1)(y－y1) 　直线的一般式方程 1．关于x，y的二元一次方程的一般形式是什么？ 提示：二元一次方程的一般形式：Ax＋By＋C＝0. 2．斜率存在的直线方程y＝kx＋b，斜率不存在的直线方程x＝x0能写成二元一次方程的形式吗？ 提示：直线y＝kx＋b可化为kx－y＋b＝0.直线x＝x0化为x－0·y－x0＝0. 1．直线的一般式方程 Ax＋By＋C＝0，其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零(即A2＋B2≠0)． 2．关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)： (1)如果B≠0，则方程可以化为：y＝－的直线．，且截距为－．它表示的斜率为－x－ (2)如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－的直线．，它表示的是斜率不存在，且过点 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过点P的直线都可用点斜式写出．(　　) (2)过点P(x0，y0)且与x轴垂直的直线方程是y＝y0.(　　) (3)＝k表示过点P(x0，y0)的直线．(　　) (4)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线．(　　) (5)直线的一般式方程可表示任意一条直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：方程可变形为y＋2＝－(x＋1)． ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案：C 3．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0　　　　　　 B.x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0 解析：由直线的两点式方程，得， ＝ 化简得x－y－1＝0. 答案