2.1 坐标法-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．1　坐标法 1．掌握平面上两点之间的距离公式和中点坐标公式，重点培养数学运算核心素养． 2．体会坐标法在平面几何中的应用，重点提升逻辑推理核心素养． 　平面直角坐标系中的基本公式 　如图，数轴上点A对应的数为x1，(即A的坐标为x1，记作A(x1))，点B对应的数为x2. (1)向量的坐标为________； (2)A，B两点的距离|AB|＝________； (3)线段AB的中点的坐标为________． 提示：(1)x2－x1；(2)|.|＝|x2－x1|；(3) 两点间距离公式及中点公式 1．已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝|． |＝ 2．已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝． ，y＝ 　坐标法 1．使用坐标法解决问题的一般步骤是什么？ 提示：(1)建立适当的平面直角坐标系； (2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； (3)利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论； (4)反演回去，得到几何问题的结论． 2．建立不同的直角坐标系，影响最终结果吗？ 提示：不影响． 1．坐标法的定义：通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 2．坐标法是解决平面图形问题的有力工具，把平面图形放在坐标系中，可以使用平面解析几何，平面向量的方法解决问题． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数轴上两个向量相等，那么这两个向量的坐标相等．(　　) (2)在数轴上，对任意三点M，N，Q均有MN＋QN＝MQ.(　　) (3)若△ABC三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．(多选题)已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．4　　　　　　　　　　 B.3 C．－2 D.5 解析：＝5，解得a＝－2或4.故选A、C. 答案：AC 3．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：设AB中点坐标为M(x，y) 则x＝＝－3.，y＝＝－ 即M. 答案：B 4．已知A(－8，－6)，B(－3，－1)，C(5，7)，求证：A、B、C三点共线． 证明：∵|AB|＝， ＝5 |BC|＝， ＝8 |AC|＝， ＝13 ∴|AB|＋|BC|＝|AC|.∴A、B、C三点共线． 平面直角坐标系中的基本公式的应用(小组探究) 　(本节例1改编)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a，0)，B(a，0)，C(0，a)(a≠0)． (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)求这个三角形的中线长． 【尝试解答】　(1)证明　由两点间的距离公式得 |AB|＝＝2|a|， |BC|＝＝2|a|， |AC|＝＝2|a|. ∴|AB|＝|BC|＝|AC|， 故△ABC是等边三角形． (2)设AB的中点为M(x，y)，则x＝|a|. |a|，既这个等边三角形的中线长为＝＝0，y＝0.中线长为|CM|＝ eq \a\vs4\al() 1．因为本题中的非零实数a可能是正数，也可能是负数，所以在应用两点的距离公式求得的结果中必须加上绝对值． 2．此三角形顶点的坐标都是特殊点，点A、B在x轴上，点C在y轴上，遇到这类题目要特别注意审题，画出草图，切忌盲目计算．本题若取BC边的中点，计算BC边上中线的长，不仅增加了计算量，而且易于出错．此题的意图在于训练审题和计算技巧． 1．已知点A关于点B(2，1)的对称点为C(－4，3)，C关于D的对称点为E(－6，－3)，求A、D的坐标及AD中点坐标． 解：设A(x1，y1)，∵A、C中点是B， ∴＝1， ＝2， ∴x1＝8，y1＝－1，即A(8，－1)． 设D(x2，y2)，∵D是C、E中点， ∴x2＝＝0.＝－5，y2＝ 即D(－5，0)． ∴AD中点为， 即. 坐标法的应用(变通探究) 　(本节例2、例3综合)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|. 【审题指导】　利用直角三角形建立平面直角坐标系．结合基本公式即可证明． 【素养立意】　本题主要考查坐标法的简单应用，突出考查逻辑推理核心素养． 【尝试解答】　证明　如图所示，以Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设B、C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)． 因为点M是BC的中点，所以点M的坐标为 .，即 由两点间的距离公式得 |BC|＝， ＝ |AM|＝.＝ 所以|AM|