2.3.4 圆与圆的位置关系-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．3.4　圆与圆的位置关系 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法，重点培养直观想象核心素养． 2．会运用圆与圆的位置关系解决相关问题， 重点提升数学运算核心素养． 　圆与圆的位置关系 1．两圆相切时，两圆圆心与切点满足什么性质？ 提示：两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条直线上． 2．两圆相交时，两圆圆心的连线与公共弦之间有怎样的关系？ 提示：两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦． 3．当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，两圆的公切线分别有几条？ 提示：两圆外离时，公切线有4条；外切时有3条；相交时有2条；内切时有1条；内含时没有公切线． 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 　 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．(　　) (2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　　) A．外离　　　　　 B.相交 C．外切 D.内切 解析：因为两圆的圆心距|O1O2|＝<2＋1，所以两圆相交．，且2－1< 答案：B 3．已知两圆的半径分别为1和5，若两圆相切，则圆心距d的取值是________． 答案：4或6 4．已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0相交于A、B两点，则过两交点A、B的直线方程为__________． 答案：4x－3y－9＝0 圆与圆位置关系的判定(小组探究) 　(本节例1改编)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？ (2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？ 【尝试解答】　(1)∵m＝1，∴两圆的方程可化为： C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1. 两圆的圆心距d＝， ＝2 又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2， ∴r1－r2<d<r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交． (2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含， 则<3－1， 即(m＋1)2<0，显然不等式无解． 故不存在m使得圆C1与圆C2内含． eq \a\vs4\al() 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围，有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 1．圆C1：x2＋y2－2x－3＝0和C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　) A．外离　　　　　　　 B.相切 C．相交 D.内含 解析：把两圆的方程分别配方，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交．，r1－r2＝2－，r1＋r2＝2＋＝，则连心线的长|C1C2|＝ 答案：C 两圆相交的有关问题(多维探究) 　(本节例2迁移)(1)(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的是(　　) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b (2)(一题多解)求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 【尝试解答】　(1)两圆方程相减可得直线AB的方程为： a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2， 故B正确； 分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入 2ax＋2by＝a2＋b2，得 2ax1＋2by1＝a2＋b2， 2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得： 2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0， 即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确； 由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分． 所以x1＋x2＝a，故C正确，故