2.3.2 圆的一般方程-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．3.2　圆的一般方程 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，重点培养直观想象核心素养． 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，重点提升数学运算核心素养． 　圆的一般方程 1．一般地，把圆的标准方程(x－1)2＋(y－3)2＝16中的括号展开， 得到的方程形式是什么？ 提示：x2＋y2－2x－6y－6＝0. 2．你能用配方法将方程x2＋y2－2x＋6y＋9＝0化为圆的标准方程形式吗？ 提示：原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2－1＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝1.说明原方程表示的是一个以点(1，－3)为圆心，以1为半径的圆． 3．方程x2＋y2－2x＋6y＋t＋1＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．原方程可用配方法化为(x－1)2＋(y＋3)2＝9－t.因此当t<9时方程表示圆；当t＝9时，方程表示点；当t>9时方程无解，不表示任何图形． 1．圆的一般方程 一般地，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0． 在这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则这个方程可以表示成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，其中D，E，F都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程． 2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F>0 表示以 为圆心， 以为半径的圆 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点，点的坐标为 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　) (2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1　　　　　　　　　　　　　 B.1 C．3 D.－3 解析：∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1，2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案：B 3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是(　　) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 解析：由配方法得(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，所以方程表示点(－a，－b)． 答案：D 4．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是(　　) A．D＝E＝0，F≠0 B.D＝F＝0，E≠0 C．D＝E≠0，F≠0 D.D＝E≠0，F＝0 解析：因为圆过原点，所以F＝0，又圆心在y＝x上，所以D＝E≠0. 答案：D 圆的一般方程的概念(小组探究) 　(本节例2拓展)(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6，3　　　　　　 B.－4，6，3 C．－4，6，－3 D.4，－6，－3 【尝试解答】　圆心为， 所以－＝3，所以D＝4，E＝－6， ＝－2，－ 又R＝代入得F＝－3. 【答案】　D (2)方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． 【尝试解答】　解法一　由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.＝ 解法二　原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此， 当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. eq \a\vs4\al() 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 1．下列方程各表示什么图形． (1)x2＋y2－4x－2y＋5＝0； (2)x2＋y2－2x＋4y－4＝0； (3)x2＋y2＋ax－ay＝0. 解：(1)由方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0， 得(x－2)2